Indukzio Koefizienteak eta Uhin-Ekuazioa

Indukzio Koefizienteak

Zirkuitu Elektrikoen arteko Elkarrekintza Magnetikoa

Espazioan zehar N zirkuitu elektriko ditugula demagun, Ci, eta zirkuitu horietako bakoitzak Ii intentsitatea duela. Ii intentsitate bakoitzaren ondorioz, eremu magnetiko bat sortuko da bere inguruetan, Biª(rª), eta eremu magnetiko horietako bakoitzak gainontzeko zirkuituetan, Cj, eragina izango du.

Hortaz, Ci zirkuituak, Cj zirkuituan zehar fluxu magnetikoa eragingo du: (fi i-j)=$(Sj)$Biª(rª)·dSjª. Edozein zirkuituk sortutako B eremu magnetikoa beti da zirkuitu horretan zirkulatzen ari den I intentsitatearen proportzionala, beraz, fluxua honela berridatz daiteke: (Fi i-j)=Ii$(Sj)$[(nu0)/4(Pi)(Ci)$dliªxrˆ/rˆ2]·dSjª.

Aurreko integral bikoitz horrek soilik dauka menpekotasuna i eta j zirkuituen parametro geometrikoekin, hala nola, formak, tamainak, distantziak eta orientazioak, eta Mij deritzo, Ci eta Cj zirkuituen arteko elkar-indukzio koefizientea; beraz, fluxua laburrago berridatz daiteke (Fi i-j)=MijIi.

Elkar-indukzio koefizienteak adierazten du bi zirkuituren artean “magnetikoki akoplatzeko duten gaitasuna”, edo zirkuitu batak besteari fluxu magnetikoa eragiteko daukan ahalmena. Bere unitatea Henry da (H=Wb/A). Erraz froga daitekeenez, Elkar-indukzio koefizienteak simetrikoak dira, alegia, Mij=Mji.

Bestalde, idatz dezagun orain Cj zirkuituak jasaten duen fluxu totala, alegia, bere inguruko zirkuitu guztien ekarpen edo kontribuzioen batura: (Fij)=-(N)(i=1)€MijIi. Zirkuituak estatikoak eta zurrunak direnean (Mij=kte), orduan, induzitutako indar elektroeragilea errazago adieraz daiteke: Ej=-d(fij)/dt=-(N)(i=1)€MijdIi/dt.

Mjj batugaia ere kontuan hartu behar da, hau da, zirkuitu batek eragindako fluxua, zirkuituarekin berarekin ere akoplatzen da. Termino horri auto-indukzio koefiziente deritzo, Lj, izan ere, zirkuitua bakarrik dagoenean, horixe da kontuan hartu beharreko bakarra, eta orduan, (Fi)=L·I eta E=-LdI/dt.

Energia Magnetikoa

Energia magnetikoa honela definitzen da: zirkuitu estatiko batean intentsitate bat ezartzeko beharrezkoa den lana (edo zirkuitu estatiko multzo batean intentsitate multzo bat). Lan horretan ez da kontuan hartzen Joule efektuaz galdutakoa edo beste efektu disipatiborik, baizik eta indukzio magnetikoa gainditzeko lana soilik.

Lehenik, zirkuitu bakar baten kasua aztertuko dugu. Zirkuitu horrek hasiera batean, ez du korronte elektrikorik eta I intentsitatea ezarri nahi diogu, baina zirkuituak L autoindukzio-koefizientea dauka eta korrontearen intentsitatea handitzen diogunean i.e.e. bat induzitzen da, aldaketaren aurkakoa: E=-Ldi/dt. Induzitutako i.e.e.-aren noranzkoa intentsitatearen aurkakoa da, hain zuzen, eta beraz, horixe gainditu beharko dugu kanpoko i.e.e. bat aplikatuz, hau da, intentsitate bat ezartzea lan bat kostatu egingo zaigu. Beharrezko den energia elektriko horri Um deituko diogu: Um=-$Eidt=(0)(I)$Lidi=LIˆ2/2=I(Fi)/2=(Fi)ˆ2/2L. Energia hori zirkuituan “metatuta” dagoela kontsidera daiteke, edo zirkuituaren inguruko eremu magnetikoan, I intentsitatea zirkulatzen ari den bitartean.

Lortutako adierazpen horrekin kasu konkretu baten energia magnetikoa kalkulatuko dugu: solenoide ideal bat N espiraduna, l luzeraduna, S sekzioduna eta I intentsitateduna. Bere eremu magnetikoa hau da: B=(nu0)nI=(nu0)NI/l, I=Bl/(nu0)N. Bestalde, fluxua (Fi)=BSN denez, energia magnetikoa honakoa da: Um=I(Fi)/2=BlBSN/2(nu0)N=Bˆ2Sl/2(nu0). Hemen Sl solenoidearen bolumena da, beraz, gainerako kantitatea, Bˆ2/2(nu0), logikaz “energia magnetikoaren dentsitatea” izango da, bolumen unitateko. Emaitza hori, solenoidearen kasu konkreturako lortu dugun arren, erabat orokorra da, hau da, orokorrean, espazioan eremu magnetiko bat dugunean, bertan gordeta dugun energia magnetikoaren dentsitatea honakoa da: pB=Bˆ2/2(nu0).

Zirkuitu bakarra izan beharrean N zirkuitu badira, energia magnetiko totala honela idazten da: Um=(N)(i=1)€Ii(Fii)/2. Esate baterako, bi zirkuituren kasurako, I1 eta I2 intentzitateak, L1, L2 autoindukzio koefizienteak, eta M elkar-indukzio koefizientea badira: Um=L1I1ˆ2/2+L2I2ˆ2/2+MI1I2. Adierazpen horretan daude zirkuitu bakoitzaren energia propioa eta bien arteko elkar-indukzio energia ere bai.

Zirkuitu-kopurua edozein izanda ere, emaitza hori orokorra da, soilik da indukzio-koefizienteen eta intentsitateen amaierako balioen menpekoa eta, bistan denez, berdin dio intentsitateak zein ordenetan ezartzen diren.

Nola Deskribatu Matematikoki Perturbazio baten Propagazioa: Uhin Ekuazioa

Kasu Ideala

Kasu ideala aztertuko dugu soilik, oinarrizko hipotesiak betetzen dituena:

1. Uhinaren forma ez da aldatzen propagazioan zehar.
2. Propagazio-abiadura konstante mantentzen da.
3. Medioa infinitua eta mugagabea da.

Demagun funtzio matematiko jarrai bat, (fi)=f(x). Funtzio horretan x koordenatuaren ordez, x-a ordezkatzen badugu, f(x-a) funtzioa lortzen da. Funtzio hori, aurrekoaren antzekoa da baina a distantzia desplazatua eskuinerantz (a>0 bada), aldiz, f(x+a) funtzioa ezkerrerantz desplazatuta egongo da.

Desplazamendu hori konstantea izan beharrean, denborarekiko aldakorra bada, esaterako, a=v·t ekuazioaren bitartez deskribatzen badugu (v abiadura eta t denbora), orduan, (fi) funtzioak adierazten du, zeinuaren arabera, eskuinerantz edo ezkerrerantz v abiaduraz desplazatzen ari den kurba bat. Beraz, honelako itxura daukan edozein funtziok: (fi)(x, t)=f(x+-vt) perturbazio bat adierazten du, (fi) magnitude fisikoarena, x ardatzaren norabidean eta v abiaduraz hedatzen.

(fi)=f(x,t) magnitude fisikoa, edozein izan daiteke: solido baten deformazioa, gas baten presioa, eremu elektrikoaren edo eremu magnetikoaren osagaiak… Nolako ekuazio diferentziala betetzen du (Fi)=f(x,t) funtzioak uhin gisa hedatzen bada?

Demagun aldagai berri bat: z=x-v·t; berehala ikusten da deribatuek honako baldintza betetzen dutela: a(Fi)/ax=d(fi)/dz eta a(Fi)/at=-vd(Fi)/dz eta beraz a(Fi)/at+va(fi)/ax=0. Deriba dezagun berriz ere azken ekuazioa denborarekiko: aˆ2(Fi)/atˆ2=-va/ax(a(Fi)/at)=-va/ax(-va(Fi)/ax)=vˆ2ªˆ2(Fi)/axˆ2. Eta uhinen ekuazioa lortzen dugu, dimentsio bakarreko propagaziorako: aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2aˆ2(fi)/axˆ2.

Berehala froga daiteke, zuzenki ordezkatuz, (fi)(x, t)=f(x+-vt) ekuazioa aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2aˆ2(fi)/axˆ2 ekuazioaren soluzioa dela, eta v uhinaren propagazio abiadura dela. Abiadura konstantez eta deformatu gabe hedatzen ari den edozein perturbaziok ekuazio hori beteko du.

Uhin Lauak eta Esferikoak

Uhinak, alegia, (fi)(x, t)=f(x+-vt) funtzioak, balio konstantea hartzen duen espazioko eskualdeei uhin-fronte deritze. Mota honetako uhinak uhin lauak dira, uhin fronteak lauak direlako, izan ere, OX ardatzarekiko perpendikularrak diren planoak.

aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2aˆ2(fi)/axˆ2 ekuazioa hiru dimentsiorako orokor daiteke eta d’Alembert-en uhin ekuazioa deritzo, edo baita ere, higidura ondulatorioaren ekuazio diferentziala. aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2(aˆ2(Fi)/axˆ2+aˆ2(fi)/ayˆ2+aˆ2(fi)/azˆ2).

Bestelako uhin mota garrantzitsua uhin esferikoak dira. Demagun uhin-iturri puntual bat espazioko norabide guztietan igortzen duena (igorpen isotropikoa). Uhin mota hori deskribatzeko, har dezagun perturbazioaren balio konstante bat duten espazioko puntuak, alegia, uhin fronteak. Iturriak norabide guztietan berdin igortzen badu, orduan, uhin fronteak esferikoak dira, iturria bera zentroan dutenak eta bere modulua distantziaren menpe gutxituz doa. Uhin esferikoaren adierazpena honelakoa da: (fi)(r,t)=f(r-vt)/r. Hemen r espazioko edozein puntutik iturrirainoko distantzia da.

Erraz froga daiteke horrelako adierazpena honelako uhin-ekuazioaren soluzio dela: aˆ2(r(fi))/atˆ2=vˆ2aˆ2(r(fi)/arˆ2. Hori da d’Alemberten aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2(aˆ2(Fi)/axˆ2+aˆ2(fi)/ayˆ2+aˆ2(fi)/azˆ2) ekuazioaren forma, simetria esferikoa dagoenean.

Uhin frontearen zati bat hartzen badugu, ikusten da, bere kurbadura gutxitzen doala iturritik urruntzen diren heinean, alegia, gero eta zuzenagoak direla, eta hortaz, uhin fronteak gero eta hurbilago daudela gainazal lauak izatetik (uhin lauak).

Uhin iturritik “nahikoa” urruntzen bagara, uhinaren adierazpen matematikoa (fi)(x, t)=f(x+-vt) antzekoa izango da. Sistema fisiko batean gertatzen den perturbazio bat uhin gisa hedatuko ote den jakiteko, sistemaren portaera makroskopikoa gobernatzen duten ekuazioak aplikatu beharko dira (Newtonen 2.legea, Hookeren legea, Termodinamikaren 1. Printzipioa, Maxwellen ekuazioak…) eta egiaztatu ea lortutako ekuazio diferentzialak aˆ2(Fi)/atˆ2=vˆ2(aˆ2(Fi)/axˆ2+aˆ2(fi)/ayˆ2+aˆ2(fi)/azˆ2) ekuazioaren itxura ote daukan ala ez. Itxura horixe baldin badauka, frogatuta gelditzen da perturbazio hori uhin gisa heda daitekeela, baina, gainera, propagazioaren abiadura ere lortuko dugu, izan ere, posizioarekiko bigarren deribatuaren koefizientea behatuz. Koefiziente hori beti da sistemaren parametro makroskopikoen menpekoa.

Uhin Energia eta Intentsitatea

Uhin Mekanikoak

Uhin mekanikoa ingurune edo medio material batean zehar hedatzen ari den bitartean, medio horretako atomoak eta molekulak, batez beste, oreka posizioaren inguruan daude. Hau da, uhina hedatu egiten da atomo batek edo molekula batek bere ondorengoa higiarazten duenean eta horrela behin eta berriz, baina uhina pasatu ondoren, denak berriz ere oreka posiziora itzultzen dira. Beraz, hedatu dena ez dira atomoak edo molekulak, higidura-egoera baizik. Higidura orori bezala, energia eta momentu lineala dagokio, beraz, uhinak energia eta momentu lineala garraiatzen ditu.

Uhinaren I intentsitatea da, definizioz, uhinak propagazio-norabidearekiko perpendikularki kokatuta dagoen azalera batean zehar, denbora unitateko eta azalera unitateko garraiatzen duen batez besteko energia (edo batezbesteko potentzia azalera unitateko, SI-ko unitateak W/mˆ2). Dei diezaiogun <pE> uhinaren batez besteko energia dentsitateari, hau da, bolumen unitateko batez besteko energiari (SI-ko unitateak J/mˆ3). Uhinaren propagazio-abiadura v bada, orduan: I=P/S=<pE>v.

Uhin esferikoetan, alegia, iturri puntual batek isotropikoki espazio osoan zehar igorritako uhinetan, P potentzia eta I intentsitatea honela erlazionatzen dira: I=P/4(Pi)rˆ2. r da, behatze puntutik iturri puntualera dagoen distantzia. Adierazpen horri distantziaren karratuaren alderantzizkoaren lege deritzo, eta deduzitzeko, energiaren kontserbazioa aplikatu behar da uhin esferikoen propagazioan. Izan ere, aurreko ekuazioak eta (fi)(r, t)=1f(r-vt)/r adierazpena (uhin esferikoen anplitudearena) konparatzen baditugu, ondorioztatzen da intentsitatea anplitudearen karratuaren menpekoa izan behar dela.

Uhina medio mugatu batean hedatzen ari bada (soka bat, habe bat edo hodi bat) zeharkako sekzioa, S, mugatua da, eta orduan, sekzio horretan zehar pasatzen ari den batez besteko energia denbora unitateko, edo batez besteko potentzia hau da: P=IS=<pE>Sv. Adierazpen horrek ematen du, baita ere, uhina mantentzeko behar den energia, alegia, zein erritmotan eman behar duen iturriak energia, uhina medio material osoan zehar mantentzeko.

Uhin harmonikoa hartzen bada, y(x,t)=Asin(kx-wt), uhinaren batezbesteko energia-dentsitatea kalkulatzeko, Higidura harmoniko sinplearen adierazpenak har ditzakegu. Osziladore harmonikoaren energia zinetikoa eta potentziala aldakorrak dira, baina bien batura konstantea da, energia totala: mwˆ2Aˆ2/2 eta I=P/S=<pE>v ekuazioaren arabera, hau da, uhinaren intentsitatea: I=pvwˆ2Aˆ2.

Soinu-Uhin Intentsitatea: Entzumena

Giza belarriak daukan sentikortasunaren arabera, soinua hiru maiztasun tartetan sailka daiteke:

• Infrasoinuak (0-20Hz)
• Entzungarriak (20Hz-20kHz)
• Ultrasoinuak (20kHz-tik gora)

Uhin akustikoetan, desplazamenduaren anplitudea (A) eta presio-uhinaren anplitudea (P0) erlazionatuta daude eta beraz, anplitude honen mende ere eman daitezke uhinaren batez besteko energia: <pE>=pwˆ2Aˆ2=P0ˆ2/2vˆ2p eta intentsitatea I=P0ˆ2/2vp.

Giza belarriaren sentikortasuna frekuentziaren menpekoa da, hau da, belarriak frekuentzia batzuk errazago entzuten ditu besteak baino. Batetik, entzun ahal izateko, intentsitate minimo bat behar da: entzumen-ataria; hortik beheragoko intentsitateak giza belarriak ez ditu entzuten. Bestetik, intentsitate maximo bat ere badago: kalte-ataria; hortik goragoko intentsitateak mina edo kaltea eragiten dio giza belarriari.

Soinu baten intentsitatea definitzeko, baina belarriaren sentikortasuna kontuan izanda, B deituriko soinu-maila definitzen da, dezibeletan adierazten dena (dB), honela: B=10 logI/I0. Definizio horretarako erreferentzia gisa ezartzen da, I0=10ˆ-12W/mˆ2, izan ere, entzumen atariaren balioa da 1kHZ-ko maiztasunerako (maiztasun horretako entzumen atariak, B=0dB).

Bi soinu ezberdin batera entzuten direnean, energiak batu egiten dira (intentsitateak) baina ez, ordea, soinu-mailak dezibelioetan. Soinuaren intentsitatea anplitudearen menpekoa da, baina horretaz gain, beste ezaugarri batzuk ere aipagarriak dira: bata tonua da, maiztasunaren menpekoa (tonu altuak maiztasun altua esan nahi du eta alderantziz), eta beste ezaugarria tinbrea da, uhinaren formaren menpekoa (ez du zertan harmonikoa izan), karratua, hirukia, edo konplexuagoa.