Historia y aplicaciones del Cálculo Integral

El Cálculo Integral

Historia del Cálculo Integral

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas avanzadas. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow.

Origen del Cálculo Integral

El origen del Cálculo Integral se remonta a más de 2400 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área, ideando el procedimiento que llamaron método de exhaución. Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples. Desde Arquímedes, el desarrollo del Método de Exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de los símbolos y técnicas algebraicas se hizo en estudios matemáticos.

Desarrollo del Cálculo Integral

El método de agotamiento es el precursor del concepto de Suma de Riemann que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo. El cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas empezó en el siglo XVI d. C. Con la introducción de los símbolos algebraicos, revivió el interés por el antiguo Método de Exhaución y en el siglo antes mencionado se descubrieron múltiples resultados, en los que Cavalleri, Torrecelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros.

Desarrollo posterior

Gradualmente, el Método de Exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como Cálculo Integral. Newton y Leibniz separadamente uno del otro, fueron en parte los responsables del desarrollo de las ideas básicas del Cálculo Integral hasta llegar a encontrar problemas que en su tiempo fueron irresolubles, su mayor logro fue el hecho de poder fundir en uno, el cálculo integral y la segunda rama importante del cálculo: el Cálculo Diferencial.

Aplicaciones del Cálculo Integral

En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, entre otras.

Principales objetivos del cálculo integral

• Área de una región plana
• Cambio de variable
• Integrales indefinidas
• Integrales definidas
• Integrales impropias
• Integrales múltiples (dobles o triples)
• Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
• Métodos de integración
• Teorema fundamental del cálculo
• Volumen de un sólido de revolución