Heterocedasticidad y el Modelo Lineal Uni-Ecuacional Múltiple: Causas, Consecuencias y Detección

Heterocedasticidad en el Modelo Lineal General

En el modelo lineal general, y = Xβ + u, se supone que la perturbación aleatoria cumple:

• a) E[U_t] = 0
• b) E[U_t²] = Var(U_t) = σ²
• c) E[u_i * U_j] = Cov(U_i, u_j) = 0

La propiedad B es la homocedasticidad. Cuando este supuesto se incumple, es decir, la varianza no es constante, se dice que hay heterocedasticidad. Este problema aparece cuando se disponen de datos de sección cruzada, es decir, cuando se dispone de observaciones que miden una variable en un momento determinado para distintas entidades.

Causas de la Heterocedasticidad

• Naturaleza del fenómeno: en situaciones en las que se disponen de datos de sección cruzada.
• Usar datos agregados: cuando las observaciones de la variable dependiente (Y_t) pueden dividirse en grupos y se usan como datos los promedios proporcionados por tales grupos.
• Omisión de una variable relevante en el modelo: si se omite una variable relevante, es esperable que la perturbación aleatoria dependa de dicha variable omitida, por lo que su varianza difícilmente será constante.

Consecuencias de la Heterocedasticidad

La consecuencia de la presencia de heterocedasticidad en un modelo lineal es que los estimadores obtenidos, aunque sean lineales e insesgados, no serán óptimos. Ya que si:

Var(U_t) = σ² * Ω_nxn

Sea β(estimada) = (X'X)^-1X'Y, el estimador entonces:

Var(β estimada) = σ²(X'X)^-1X'ΩX(X'X)^-1

Procedimientos de Detección de la Heterocedasticidad

Para detectar la heterocedasticidad en un modelo lineal múltiple disponemos de distintos procedimientos:

Métodos Gráficos

Consideramos dos métodos distintos:

1. Gráfico de los residuos: Es un gráfico de dispersión de los residuos o residuos al cuadrado, e_t o e_t², frente a t. Si en dichos gráficos observamos grupos de observaciones dispersas, entonces podemos pensar que existe heterocedasticidad.
2. Gráficos de dispersión: Consiste en el diagrama de dispersión de los residuos o residuos al cuadrado, e_t o e_t², frente a la variable independiente que sospechamos que puede causar heterocedasticidad. Si la variabilidad de los residuos aumenta o disminuye conforme aumenta el valor de X_t, entonces habría presencia de heterocedasticidad.

Métodos Analíticos

Test de Glejser

Se procede de la siguiente forma:

1. Ajustamos el modelo original por MCO: Y estimada = Xβ estimada y obtenemos los residuos: e_t = Y_est – Y_t
2. Ajustamos por MCO la regresión auxiliar donde h puede valer ±2, 1, ½.
3. Realizamos los contrastes individuales de significación de la regresión auxiliar. H₀: ...
4. Si rechazamos H₀, es que existe heterocedasticidad.

Test de Goldfeld-Quant

1. Ordenamos de menor a mayor los valores de la variable que consideramos que produce la heterocedasticidad.
2. Eliminamos m observaciones centrales.
3. Ajustamos por MCO las dos muestras restantes.
4. Realizamos el contraste.

El Modelo Lineal Uni-Ecuacional Múltiple

El modelo lineal uni-ecuacional múltiple analiza la relación lineal entre una variable dependiente Y, y más de una variable independiente X_i (i = 1,..., k; k > 1) más un término aleatorio U. El modelo se puede expresar como:

Y_t = β₁ + β₂X_2t + ... + β_kX_tk + U_t

donde existe un término constante X_1t = 1.

El objetivo será estimar aquellas cantidades presentes en el modelo, así como la bondad de la estimación realizada.

El modelo en forma matricial será:

y_t = (y₁ y₂ ... y_n)

X = (1 1 1 ... 1; X₁₂ X₂₂ ... X_2n; X_1k X_2k ... X_nk) (esto va en columnas)

β = (β₁ β₂ ... β_k)

U_t = (U₁ U₂ ... U_k)