Guia Ràpida d'Àlgebra: Factorials, Equacions, Inequacions i Funcions

Factorials i Càlcul Combinatori

• Variació (Importa l'ordre, ex: banderes): $V_{a,b} = \frac{a!}{(a-b)!}$
• Combinació (No importa l'ordre, ex: batuts): $C_{a,b} = \frac{a!}{b! \cdot (a-b)!}$
• Permutació: $P_a = a!$ (Es pot calcular directament amb la calculadora).

Binomi de Newton

La fórmula del Binomi de Newton és: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} \cdot b^k$.

Els coeficients binomials $\binom{n}{k}$ són els nombres combinatoris, que es poden trobar utilitzant el Triangle de Tartaglia (o Pascal). La fórmula s'aplica fins que $n=k$.

Equacions de Segon Grau

Es resolen mitjançant la fórmula general:

Inequacions de Primer Grau

Es resolen com una equació normal, però cal tenir en compte les següents regles:

• Si es multiplica o divideix per un nombre negatiu, el símbol d'inequació ("<" o ">") canvia de sentit.
• Per definir l'interval solució:
  • Amb els símbols "$\ge$" o "$\le$": S'utilitza claudàtor (`[` o `]`) i el punt és pintat (inclòs). L'infinit (`$\infty$`) sempre porta parèntesi.
  • Amb els símbols "<" o ">": S'utilitza parèntesi (`(` o `)`) i el punt és no pintat (exclòs).

Inequacions de Segon Grau

Primer es troben les arrels utilitzant la fórmula general de l'equació de segon grau. Després s'analitza el signe de la funció en els intervals definits per aquestes arrels, sovint mitjançant una representació gràfica (paràbola).

Anàlisi de la Paràbola

Si el coeficient de $x^2$ és positiu, la paràbola serà còncava (cap amunt). Si és negatiu, serà convexa (cap avall).

Per calcular el vèrtex ($x_v, y_v$):

1. La coordenada $x$ del vèrtex és $x_v = -b/(2a)$.
2. Se substitueix aquest resultat a la fórmula inicial per trobar la coordenada $y$ del vèrtex.

Introducció a les Funcions Quadràtiques

Per representar una funció (p. ex., $y=ax^2+bx+c$), es pot construir una taula de valors assignant valors a $x$ (p. ex., $0, 1, 2, -1, -2$) i calculant els valors corresponents de $y$.

Nota: L'anàlisi de la forma de la paràbola i el càlcul del vèrtex segueixen els mateixos passos descrits a l'apartat d'Inequacions de Segon Grau.

Càlcul de Punts de Tall

Els punts notables d'una funció de segon grau són els punts que tallen els eixos i el vèrtex.

Punts de tall amb l'eix Y (on $x=0$)

És el punt on la funció talla l'eix vertical. S'ha de substituir $x = 0$ a la funció i calcular el valor de $y$. El resultat és el punt $(0, y)$.

Punts de tall amb l'eix X (on $y=0$)

Són els punts on la funció talla l'eix horitzontal. S'ha de plantejar l'equació $0 = ax^2 + bx + c$ i resoldre-la (sovint mitjançant la fórmula del segon grau). Els valors d'$x$ que surtin són els punts $(x, 0)$.

Exemple: Els punts que anul·len els parèntesis en una funció factoritzada: $(x+2)(x+1)=0$ dóna $x=-2$ i $x=-1$.

Sistemes d'Equacions Lineals 2x2

Un sistema de dues equacions amb dues incògnites es pot resoldre pel mètode de Reducció:

1. Decidir quina incògnita es vol eliminar.
2. Buscar que les dues equacions tinguin el mateix coeficient (o el mateix amb signe canviat) per a aquella incògnita. Si no coincideixen, es multiplica una o totes dues equacions per un nombre adequat.
3. Sumar o restar les equacions per eliminar completament la incògnita.
4. Resoldre l'equació resultant amb una sola incògnita.
5. Substituir el valor trobat en una de les equacions originals per trobar el valor de l'altra incògnita.

Sistemes d'Equacions Lineals 3x3

Per resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites (mètode de Reducció):

1. Escriure les tres equacions alineades.
2. Triar una incògnita a eliminar (p. ex., $x$).
3. Fer parelles d'equacions (p. ex., 1–2 i 1–3) i, si cal, multiplicar per aconseguir coeficients iguals o oposats de la incògnita triada.
4. Sumar o restar les equacions de cada parella per eliminar la incògnita. Això resulta en un sistema de 2 equacions amb 2 incògnites.
5. Resoldre aquest sistema 2x2 (com s'ha explicat anteriorment).
6. Substituir els dos valors trobats en una equació del sistema 2x2 per obtenir la segona incògnita.
7. Substituir les dues incògnites obtingudes en una equació original per trobar la tercera incògnita.