Guia Pràctica: Teoria de Jocs i Monopoli - Estratègies, Equilibri de Nash i Benestar

Tema1

Estratègies racionalitzables (eliminació d’estratègies estrictament dominades)

Els dos jugadors juguen a la vegada, per saber estrategies del J1 es mira numero a l'esquerra per columnes, el J2 mira el de la dreta per files, per saber dominades un mateix jugador a de triar la mateixa estrategia en els dos casos

Equilibri(s) de Nash en pures i eficiència de Paretó

Igual que abans, J1 per columnes, J2 per files, l'estrategia que estigui triada pels dos es EN, normalment si esta dominada sera esa, Paretó es si hi ha una altra estrategia que pagui millor que EN per les dos parts

Jocs repetits

Condició perque cooperar sigui optim:

Hi ha equilibris de Nash en mixtes?

Comprova si hi ha estratègies dominants

Si algun jugador té una estratègia estrictament dominant,
l’equilibri serà pur, amb probabilitat 1 en aquesta estratègia.
➜ No cal buscar mixtes (no existeixen amb suport en dominades).

Si no hi ha dominants però sí EN en pures,
també no cal mixtes (els equilibris purs ja cobreixen el joc).

Només si NO hi ha cap EN en pures, fes el següent:

• Anomena les estratègies del jugador 1: A i B

• Del jugador 2: C i D

• Sigui p = Prob(J1 juga A), q = Prob(J2 juga C)

• Escriu les utilitats esperades dels jugadors:
  • J1(A) = q·u₁(A,C) + (1−q)·u₁(A,D)
  • J1(B) = q·u₁(B,C) + (1−q)·u₁(B,D)
  ➜ Igualales per trobar q*
  (indiferència de J1).
  • Fes el mateix per J2 i troba p*.

Resultat

(p*, q*) = equilibri de Nash en mixtes (si 0 < p*, q* < 1).

Conclusió ràpida per exàmens

• Hi ha dominant? → ❌ No mixt

• Hi ha EN en pur?
  → ❌ No mixt

• No hi ha cap EN pur → ✅ Busca mixt fent indiferència

Tema 3

Troba el preu i la quantitat d’equilibri en el cas que l’empresa actuï

Com un monopolista

1) Ingressos totals: RT(q) = P·q = (43 − 2q)q = 43q − 2q²; és la funció que després derivarem per treure l’ingrés marginal.

2) Ingrés marginal: IM(q) = dRT/dq = 43 − 4q; és la pendent de la corba d’ingressos i indica quant puja l’ingrés si venc una unitat més.

3) Cost marginal: CM(q) = dCT/dq = 3; com que CT és lineal, el CM és constant i val 3

4) Condició d’òptim del monopolista: IM = CM ⇒ 43 − 4q = 3 ⇒ 4q = 40 ⇒ q* = 10; triem aquesta q perquè iguala el benefici marginal amb el cost marginal.

5) Preu d’equilibri: P* = 43 − 2q* = 43 − 20 = 23; és el preu que demana el mercat quan la quantitat és q*

6) Benefici: π* = RT − CT = P*·q* − 3q* = 23·10 − 3·10 = 230 − 30 = 200; també es pot veure com (P* − CM)·q* perquè no hi ha cost fix.

Dedueix el preu i la quantitat d’equilibri en competència perfecta

1) Cost marginal i mitjà: CM(q) = dCT/dq = 3 i AC(q) = CT/q = 3; amb cost marginal constant, l’oferta competitiva és P = 3.

2) Equilibri de mercat en competència perfecta: els preus s’igualen al cost marginal ⇒ P = 3 i s’imposa a la demanda ⇒ 3 = 43 − 2q ⇒ 2q = 40 ⇒ q^CP = 20.

3) Preu i quantitat d’equilibri: P^CP = 3, q^CP = 20; és el punt on el preu competitiu (igual al CM) talla la demanda.

4) Nota útil: benefici econòmic nul perquè P = AC ⇒ π = (3 − 3)·20 = 0

Calcula la pèrdua de benestar originada per la situació de
monopoli en comparació amb la situació de competència perfecta.

base = qCP − qM = 20 − 10 = 10; alçada a qM = PM − CM = 23 − 3 = 20; DWL = 0,5·10·20 = 100. DWL: 1/2*(20-10)*(23-3)=100

Imagina que el monopolista distingeix perfectament entre
consumidors i pot practicar la discriminació de preus de primer grau. Determina
la quantitat en equilibri i els beneficis d’aquest monopolista.

Dades: P(q)=43−2q, CT(q)=3q, CM=3.

1) En 1a discriminació l’empresa ven fins P=CM ⇒ 43−2q=3 ⇒ 2q=40 ⇒ q*=20

2) Ingressos totals sense integrals: àrea sota la demanda entre q=0 i q=20 és un trapezi; RT = [(P(0)+P(20))/2]·q* = [(43+3)/2]·20 = 23·20 = 460. (Equivalent: RT = rectangle 3·20 + triangle ½·(43−3)·20 = 60 + 400 = 460.)

3) Cost total: CT=3·20=60

4) Benefici: π=RT−CT=460−60=400. 5)

Observacions útils: q* coincideix amb competència perfecta (eficient), l’excedent del consumidor és 0 (tot capturat pel monopolista), preu mitjà cobrat P̄=RT/q*=460/20=23.

Quin és el valor òptim d’A i de p si el monopolista vol centrar-se
en el grup de demanda alta? Quins són els màxims beneficis en aquest cas?

1-Pillar funció de demanda: D1 es 100-2p, la q1 es 100, el p1 sera 100/2=50, el mateix amb l'altre

2-q2*(nº de consumidors del grup*p1)/2=x aixo es la tarifa

3-x*nº de consumidors del grup= A, maxims benficis

b) Vendre als dos grups amb una sola tarifa
1-=½(20−p)(80−4p)=800−80p+2p²
quantitat total = 10(100−2p)+20(80−4p)=2600−100p
benefici Π(p)=30A+(p−10)(2600−100p)=−40p²+1200p−2000
primer ordre: dΠ/dp=1200−80p=0 ⇒ p*=15
A*=CS2(15)=50
q1=70, q2=20
benefici = (15−10)(1100)+30·50=5500+1500=7000