Guia de Matemàtiques: Algoritmes, Equacions i Estadística

Conceptes Fonamentals de Matemàtiques

Algoritme de Ruffini per a Polinomis

Aplicació de l'Algoritme de Ruffini

L'algoritme de Ruffini és un procediment abreujat per dividir un polinomi $P(x)=2x^4 - 2x^3 - 22x^2 + 10x + 17$ pel binomi $(x-2)$.

• Es col·loquen els coeficients del polinomi en una graella.
• Es multiplica el divisor (en aquest cas, 2, ja que es canvia el signe del terme independent del binomi $x-2$).
• Es realitzen les sumes i multiplicacions corresponents.

Resolució d'Equacions

Fórmula de l'Equació de Segon Grau

La fórmula de l'equació de segon grau per resoldre $ax^2 + bx + c = 0$ és:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Aquesta fórmula generalment proporciona dues solucions: una positiva i una altra negativa (o dues solucions reals o complexes idèntiques).

Mètodes per a Sistemes d'Equacions Lineals

Mètode de Substitució

1. Aïllar una variable (per exemple, $y$) en una de les equacions.
2. Substituir l'expressió obtinguda en l'altra equació.
3. Resoldre l'equació resultant amb una sola incògnita ($x$).
4. Substituir el valor de $x$ a l'equació inicial per trobar el valor de $y$.

Mètode d'Igualació

1. Aïllar la mateixa incògnita (per exemple, $x$) a les dues equacions.
2. Igualar les expressions obtingudes, resultant en una equació amb una sola incògnita.
3. Resoldre l'equació obtinguda.
4. Substituir el valor trobat en qualsevol de les expressions inicials per trobar l'altra incògnita.

Mètode de Reducció

1. Multiplicar les equacions pels nombres adequats per igualar els coeficients d'una de les incògnites.
2. Restar membre a membre les equacions obtingudes per eliminar la incògnita escollida, resultant en una equació amb una sola incògnita.
3. Resoldre l'equació resultant.
4. Substituir el valor obtingut en qualsevol de les equacions originals per trobar l'altra incògnita.

Trigonometria

Relacions Bàsiques

La relació entre la longitud de la circumferència ($C$), el radi ($r$) i $\pi$ és $C = 2\pi r$. Per tant, la relació angular és:

$$\frac{\text{Longitud de la circumferència}}{\text{Radi}} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ radians}$$

Conversió d'Angles

Per passar de graus a radians (i viceversa), s'utilitza la regla de tres basada en la equivalència $360^{\circ} = 2\pi$ radians.

Exemple: Si $360^{\circ}$ són $2\pi$ radians, $60^{\circ}$ seran $x$ radians. S'ha de fer una regla de tres.

Teorema de Pitàgores

En un triangle rectangle, la hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels catets:

$$\text{Hipotenusa}^2 = \text{Catet}_1^2 + \text{Catet}_2^2$$

Funcions Trigonomètriques

• $\sin(\alpha) = \frac{\text{Catet oposat}}{\text{Hipotenusa}}$. La seva inversa és la cosècant (cosec).
• $\cos(\alpha) = \frac{\text{Catet contigu}}{\text{Hipotenusa}}$. La seva inversa és la cotangent (cotg).
• $\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{Catet oposat}}{\text{Catet contigu}}$. La seva inversa és la cotangent (cotg).

Nombres Complexos

Definicions Fonamentals

• La unitat imaginària $i$ es defineix com $i = \sqrt{-1}$, per tant, $i^2 = -1$.
• Mòdul ($|z|$): Per un nombre complex $z = a + bi$, el mòdul és $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Argument (arg $z$): L'angle $\theta$ que forma el vector amb l'eix real, calculat generalment com $\text{arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (amb ajustos segons el quadrant).

Formes de Representació

• Forma Polar: Es defineix pel mòdul ($r$) i l'argument ($\theta$): $z = r_{\theta}$.
• Forma Trigonomètrica: Si el mòdul és $r$ i l'argument és $\theta$ graus, es representa com $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
• Forma Binòmica: El resultat de desenvolupar la forma trigonomètrica és la forma $a + bi$.

Estadística Descriptiva

Mesures de Tendència Central

• Mitjana Aritmètica: Es sumen totes les notes i es divideix entre el nombre total d'exàmens.
• Mediana: S'ordenen les notes de més petit a més gran. Es mira quin valor ocupa la posició central. Si hi ha un nombre parell de dades, se sumen els dos valors centrals i es divideixen per 2.
• Moda: És la nota que s'ha obtingut més vegades.

Mesures de Dispersió

• Desviació Mitjana: Es calcula la diferència absoluta entre cada valor ($x_i$) i la mitjana ($\bar{x}$), i després es fa la mitjana d'aquestes diferències: $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$.
• Variància ($\sigma^2$): És el mateix càlcul que la desviació mitjana, però elevant al quadrat les diferències abans de fer la mitjana: $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
• Desviació Típica ($\sigma$): És l'arrel quadrada de la variància: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.