Guía de Funcións Matemáticas: Definición, Tipos e Gráficas

Concepto de Función Matemática

Unha función é unha relación entre dúas magnitudes, de tal maneira que a cada valor da primeira asígnalle un único valor da segunda. Se A e B son dous conxuntos, que chamaremos conxunto inicial e conxunto final, unha función f de A en B, que se expresa f: A → B, relaciona cada elemento de A cun único elemento de B. Se a ∈ A está relacionado con b ∈ B, escríbese f(a) = b e dise que b é a imaxe de a e que a é a antiimaxe de b.

Dominio e Percorrido dunha Función

• Dominio (Dom(f)): É o conxunto formado polos elementos de A que teñen imaxe: Dom(f) = {x ∈ A / f(x) ∈ B}. Un elemento calquera do dominio, "x", denomínase variable independente.
• Percorrido ou Imaxe (Im(f)): É o conxunto formado polas imaxes dos elementos do dominio: Im(f) = {f(x) / x ∈ Dom(f)}. Cada elemento x do dominio ten por imaxe, mediante a función f, un elemento de B que se representa por y e é a variable dependente. Isto exprésase escribindo y = f(x).

Se nunha función o conxunto inicial e o conxunto final están formados por números reais, entón dise que é unha función real de variable real: f: ℝ → ℝ ou f: D ⊂ ℝ → ℝ, onde x → y = f(x).

Representación Gráfica dunha Función

A representación gráfica dunha función permite visualizar dun modo claro e preciso o seu comportamento. O conxunto dos pares de números (x, y) determinados pola función recibe o nome de grafo ou gráfica da función.

Para obter os pares, abonda con dar valores á variable independente x e obter os correspondentes da variable dependente y, formando así unha táboa de valores. Unha vez obtidos os pares de números, represéntanse nun sistema de eixes cartesianos:

• Consiste en dous eixes perpendiculares que se cortan nun punto, chamado orixe de coordenadas (representado por O).
• O eixe horizontal recibe o nome de eixe de abscisas, e nel represéntanse os valores da variable independente.
• O eixe vertical recibe o nome de eixe de ordenadas, e nel represéntanse os valores da variable dependente.

Cada par de números corresponde a un punto do plano. Unindo todos os puntos, obtense a gráfica da función.

Tipos de Funcións

Funcións Polinómicas

Son funcións cuxa expresión é un polinomio: f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀. O seu dominio é todo o conxunto dos números reais (ℝ). Dentro das funcións polinómicas, teñen especial relevancia as funcións lineais e as cuadráticas.

Función Lineal: y = f(x) = mx + n

A súa gráfica é unha recta. As súas características principais son:

• Pasa pola orixe se n = 0.
• m é a pendente da recta, é dicir, a tanxente do ángulo que forma a recta coa parte positiva do eixe de abscisas.
• n é a ordenada na orixe, o punto onde a gráfica corta o eixe de coordenadas.
• Se m = 0, redúcese a y = n, que é unha función constante cuxa gráfica é unha recta horizontal.
• Dúas rectas paralelas teñen a mesma pendente.
• Dúas rectas son perpendiculares se as súas pendentes verifican que m₁ = -1/m₂.

Nota: As rectas verticais, paralelas ao eixe de ordenadas, teñen por ecuación x = a e non son funcións.

Funcións Racionais

Son o cociente de dous polinomios: y = f(x) = P(x)/Q(x). O seu dominio son todos os números reais agás aqueles que anulan o denominador: Dom(f) = ℝ - {x / Q(x) = 0}.