Guia de Fórmules d'Econometria: MRLS, MRLM i Contrastos

Especificacions del Model

Especificacions Lineals: X^β*μ, β/x, β*X^β, β*(X/X), e^(...).
Especificacions No Lineals: β+X^β, X^β+μ, β*(X/β), β*β, β/β, X/β, β^β, β^2.3.X…

El Sistema de Regressió

El sistema es defineix com: y(n*1) = x(n*k) * β(k*1) + μ(n*1). On X’X i la Variància són de dimensió k x k.

Model de Regressió Lineal Simple (MRLS)

Càlcul de β1:

• β1 = (Σxi*yi - n*x̅*Ȳ) / Σ(xi-x̅)^2
• β1 = rxy * (√(Σ(yi-Ȳ)^2 / n-1) / √(Σ(xi-x̅)^2 / n-1))
• β1 = cov(xy) / var(x)
• β1 = Σ(xi-x̅)*(y-Ȳ) / Σ(xi-x̅)^2

Càlcul de l'ordenada a l'origen: Bo = Ȳ - β1*x̅

Model de Regressió Lineal Múltiple (MRLM)

Minimització de la Suma de Quadrats: Min S(β) = min Σe^2 = min Σ(y-Ȳ)^2 = ∂S/ ∂βk.
Estimador MCO: β = (X’*X)^-1 * X’*Y

Variància i Mesures de Bondat d'Ajust

Variància de l'error: σ^2μ = e’e / (n-k) = Σei^2 / (n-k) = VnE / (n-k).
Variància de β: Var(β) = σ^2μ * (X’X)^-1.
Variància de Y: Var(Y) = E(μ^2) = σ^2μ.

Variància Explicada (VE): Σ(y-Ȳ)^2 o R^2*VT o β’X’Xβ o Σy^2 - N*Ȳ^2. En MRLS: β2 * Σ(xi-x̅)*(yi-Ȳ).
Variància no Explicada (VnE): Σei^2 = Σ(y-y)^2 = Σ(y-Ȳ)^2 * (1-R^2) = e’e.
Variància Total (VT): (y-Ȳ)^2. S'utilitza en el contrast F de Fisher.

Propietats de la Variància i Coeficients

Var(aβ1 + bβ2): a^2 * Var(β1) + b^2 * Var(β2) + 2*ab * Cov(β1,β2).
Coeficient de correlació (rxy): Cov(x,y) / (√Var(x) * √Var(y)).
R-quadrat (R^2): VE / VT = 1 - (VnE / VT). En MRLS és igual a rxy^2.
R^2 sense β0: Σy^2 / Σy^2.
R-quadrat corregit (Rc^2): 1 - ((n-1) / (n-k)) * (1 - R^2).
Beta estandarditzat: β * (Sx / Sy). Com més gran, millor.

Interpretació dels Coeficients

• Lineal: Y augmenta en β1 unitats.
• Lineal-log: Y augmenta en β1/100 unitats.
• Log-lineal: Y augmenta en 100*β %.
• Log-log: Y augmenta en β% (elasticitat).
• Quadràtica: Y augmenta en β1 + (2*β2)*X unitats.

Contrastos d'Hipòtesis

Error Tipus I (α): Rebutjar Ho quan és certa.
Error Tipus II (β): No rebutjar Ho quan és falsa.

Contrast Individual i Conjunt

Contrast individual: t(n-k) = (β - βj) / er.es(β). Si es rebutja Ho, el paràmetre és significatiu.
Contrast conjunt: F(k-1, n-k) = (VE / (k-1)) / (VnE / (n-k)) o (R^2 / (k-1)) / ((1-R^2) / (n-k)).
Interval de confiança: β ± t(n-k, α/2) * er.es(β).

Estimació Restringida

Interpretació de restriccions: =1 constant, <1 decreixent, >1 creixent.
Si es rebutja Ho, el millor model és el no restringit (original). Condició: Rβ - r = 0.

Càlcul de Restriccions

Una restricció: t(n-k) = (aβ1 ± bβ2 - c) / √(a^2 * Var(β1) + b^2 * Var(β2) + 2*ab * Cov(β1,β2)).
Una o més restriccions (F):
F(q, n-k) = ((Rβ-r)’ [R(X’X)^-1 R’]^-1 (Rβ-r) / q) / (e’e / (n-k))
= ((VnEr - VnE) / q) / (VnE / (n-k))
= ((e’r er - e’e) / q) / (e’e / (n-k))
= ((R^2 - R^2r) / q) / ((1 - R^2) / (n-k))
= (((βr - β)’ (X’X) (βr - β)) / q) / (e’e / (n-k))
On q és el nombre de restriccions. Si es rebutja Ho, s'utilitza el model trans-log.

Predicció i Avaluació

Punt concret: yn+h = X’n+h * β.
Interval de predicció: yn+h ± t(n-k, α/2) * er.es(e n+h).
On er.es(e n+h) = √σ^2μ * (1 + X’n+h * (X’X)^-1 * Xn+h).

Qualitat de la Predicció

Com més petit sigui el valor, millor. j és el nombre d'observacions predites.

• Error quadràtic mitjà: (1/j) * Σ(yi - ŷi)^2
• Error absolut mitjà: (1/j) * Σ|yi - ŷi|
• Coeficient de Theil: √((1/j) * Σ(yi - ŷi)^2) / (√((1/j) * Σyi^2) + √((1/j) * Σŷi^2))

Contrast de Canvi Estructural

Si es rebutja Ho, existeix canvi estructural.

• Test de Chow: F(k, n-2k) = ((e’e - (e’1e1 + e’2e2)) / k) / ((e’1e1 + e’2e2) / (n-2k)) = ((VnEr - (VnE1+2)) / k) / (VnE1+2 / (n-2k)).
• Final: F(n2, n1-k) = ((e’e - e’1e1) / n2) / (e’1e1 / (n1-k)).
• Inici: F(n1, n2-k) = ((e’e - e’2e2) / n1) / (e’2e2 / (n2-k)).

Linealitat i Normalitat

Linealitat: Si es rebutja Ho, hi ha no linealitat. p és el valor de la potència inclosa.
F(p-1, n-(k+p-1)) = ((VnEr - VnE) / (p-1)) / (VnE / (n-(k+p-1))).

Normalitat: Si es rebutja Ho, no hi ha normalitat.

• Asimetria de Fisher (g1): (√n * Σei^3) / (Σei^2)^(3/2). Si g1=0 és normal; g1>0 asimetria a la dreta; g1<0 asimetria a l'esquerra.
• Curtosi (g2): (n * Σei^4) / (Σei^2)^2. Si g2=3 és mesocúrtica.
• Jarque-Bera: X^2(2) = n * (g1^2 / 6 + (g2-3)^2 / 24).

Supòsits Bàsics del Model

Supòsits fonamentals:
y‘y = β’X’Y
E(X’μ) = 0
E(μμ’) = σ^2μ * I_n
μ’μ = Σμi^2
Σei = 0
β = βpob + (X’X)^-1 * X’μ
β ~ N [β, σ^2μ * (X’X)^-1]