Guia Essencial de Matemàtiques: Àlgebra, Càlcul i Funcions

Primer Trimestre: Polinomis i Funcions

Siguin Q(x) ∈ R₄[X] i R(x) ∈ R₁[X].

Com que gr(Q(x)) = 4 > 1 = gr(R(x)) ⇒ existeix la divisió entera entre Q(x) i R(x).

Sabem que R(x) és un divisor de Q(x) ⇔ el residu T(x) de la divisió entera entre Q(x) i R(x) és nul ⇔ T(x) = 0 (I).

Per a trobar el valor del paràmetre k per tal que R(x) sigui divisor de Q(x), aplicarem el teorema del residu, ja que R(x) = x − a, sent a = −√2, sabent que T(x) = Q(a) = Q(−√2).

Sabem que x₀ és un zero de f(x) ⇔ f(x₀) = 0 [I].

Trobarem la descomposició factorial de B(x) a partir de les seves arrels, sabent que aquestes coincideixen amb les solucions de l’equació B(x) = 0 ⇔ 3x² − x³ + 27x + 23 = 0.

Per a efectuar aquesta operació, haurem de calcular el mínim comú múltiple (m.c.m.) dels denominadors F(x) := x² − 4, G(x) := x² + x − 2 i H(x) := x³ − x² − 4x + 4, factoritzant-los prèviament:

Segon Trimestre: Continuïtat i Límits

Condició de Continuïtat

Sabem que z(x) és contínua a x₀ ∈ R ⇔ lim_x→x0 z(x) = z(x₀) ∈ R (I).

Imposem aquesta condició als punts d’abscissa x₁ = 1 i x₂ = −2:

Límits

Resoldrem aquesta indeterminació dividint el numerador i el denominador pel terme de major grau del denominador; en aquest cas, ...

Sabem que existeix lim_x→x0 f(x) ⇔ els límits laterals coincideixen.

Càlcul de la Funció Inversa

Calcularem la possible funció inversa de MA(x), que anomenarem MA⁻¹(x), aïllant la variable independent x en funció de la dependent y := MA(x):

Comprovació de Funcions Inverses

Sabem que h(x) i t(x) són inverses una de l’altra ⇔ (f ∁ g)(x) = (g ∁ f)(x) = x = id(x).

Problemes Aplicats

Interpolació Lineal

r : y = mx + n

Pendent (m): Δy / Δx

Ordenada a l'Origen (n):

Imposant que P ∈ r:

Recta Tangent

Sigui r : y = mx + n (I) l’equació explícita de la recta r tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x₀ = 0, sent m el seu pendent i n la seva ordenada a l’origen.

Càlcul del Domini

Dom(f(x)) = R ⇒ existeix y₀ = f(x₀) = ...

Calculem el pendent m de la recta r tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x₀ := 0, sabent que m = f′(x₀).

Ara calcularem l'ordenada a l'origen imposant que P ∈ r:

r: y₁ = x₁ + n ⇒ ...

Justificació d'Exponencials i Logarítmiques

Exponencials

Les exponencials es poden solucionar per injectivitat o per canvi d'incògnita.

Logarítmiques

Agafar cada solució i posar-la dins del logaritme (PERÒ MAI POSAR: x₁: log de l'enunciat; si és R⁺, existeix, si no, no).

sin²x + cos²x = 1     tan x = sin x / cos x     cotg x = cos x / sin x

Problemes d'Exponencials i Logaritmes

Raonament de Creixement o Decreixement

P(x) = 500 · 1.03^t ⇒ P(x) = A(x) · B(x) on:

• A(x) = 500 (constant)
• B(x) creixent perquè 1.03 > 1 (exponencial)

Per tant, P(x) és creixent.

Càlcul d'Imatges en Dominis Específics

Calcular el domini per justificar el que s'està calculant.

Ús de Logaritmes per Resoldre Exponents

0.95^t = 0.01 ⇒ log(0.95^t) = log(0.01) ⇒ t · log(0.95) = log(0.01) ⇒ t = log(0.01) / log(0.95).

Problemes de Funció Quadràtica

Vèrtex de la Paràbola

X_v = −b / (2a) (quan es vol calcular el màxim d'alguna cosa)

Per calcular el màxim que es pot obtenir, ens reduirem a calcular el vèrtex de la paràbola, que justificarem prèviament:

amb coeficients

Com que el coeficient principal

i

La seva representació gràfica és un tros de paràbola convexa ⇒ el vèrtex és un màxim. (NOMÉS QUAN ÉS CONVEXA)

Intersecció amb els Eixos

(quan es vol determinar quan és 0)

Càlcul del Signe (sgn(f(x)))

(quan es vol saber si és negatiu o positiu)

Coses Interessants

• Funció Beneficis = Ingressos − Costos.
• Calcular el Domini abans de res.

Quan Calculem el Vèrtex:

X_v := −b / (2a) [on b és el 2n coeficient]

Y_v := Com que [...] ∈ Dom(f(x)) ⇒ existeix y₀ = f(x₀) = ...