Grabitazioaren Oinarriak: Kepler, Newton eta Energia

Keplerren Legeak

1. Planeta guztiak orbita eliptikoetan higitzen dira, eta Eguzkia elipsearen foku batean dago.
2. Planeta bat eta Eguzkia lotzen dituen lerro zuzenak azalera berdinak ekortzen ditu denbora-tarte berdinetan (abiadura areolarra konstantea da).
3. Planeta baten higiduraren periodoaren karratua (T²) zuzenki proportzionala da planetatik Eguzkirainoko batez besteko distantziaren kuboarekin (R³), hau da, T² = C · R³.

Eremu Grabitatorioa

Gorputz batek masa izateagatik inguruko espazioan sortzen duen perturbazioari grabitazio-eremua deritzo.

Indar-lerroak

Puntu bakoitzean, eremu grabitatorioaren intentsitate-bektorearen norabidea indar-lerroekiko tangentea eta noranzko berekoa da. Lerro-dentsitatea (eremu-lerroekiko perpendikularra den gainazalaren azalera-unitatea zeharkatzen duten lerroen kopurua) eremu grabitatorioaren moduluarekiko proportzionala da. Eremu-lerroak zenbat eta bilduago egon, orduan eta intentsuagoa izango da eremu grabitatorioa.

Gainazal Ekipotentzialak

Potentzial grabitatorioaren balio bera duten espazioko puntuak lotuz lortzen dira, eta propietate hauek dituzte:

• Edozein puntutan, gainazal ekipotentzialak eta indar-lerroak perpendikularrak dira.
• Masa bat gainazal ekipotentzial bereko puntu batetik bestera eramatean egindako lana nulua da (W = m(V_a - V_b) = 0, V_a = V_b baita).
• Masa puntual baten kasuan, potentzialak balio bera du masatik distantzia berera dauden puntu guztietan. Beraz, gainazal ekipotentzialak zentroa masan duten esfera zentrokideak dira.

Eremuaren Intentsitatea

Espazioko puntu bateko eremu grabitatorioaren intentsitatea (g) puntu horretan kokatutako masa-unitateak jasango lukeen indarra da. Bektore bat da, N/kg-tan neurtzen da SI sisteman, eta eremu grabitatorioa eremu zentrala da:

g = GM/r² (M masa sortzailetik r distantziara)

Adibidea: Lurreko grabitazio-eremua

Lurraren eremu grabitatorioaren intentsitatea espazioko puntu batean (g), masa-unitateak puntu horretan Lurretik jasaten duen erakarpen-indarra da.

g = GM_L / (R_L + h)² (non M_L Lurraren masa den, R_L Lurraren erradioa eta h gainazalarekiko altuera)

Newtonen Grabitazio Unibertsalaren Legea

Bi partikula materialek (m₁ eta m₂) elkar erakartzen dute beren masen biderkadurarekiko zuzenki proportzionala eta beren arteko distantziaren (r) karratuarekiko alderantziz proportzionala den indar batez:

F = G (m₁m₂ / r²)

Indar Grabitatorioen Ezaugarriak:

• Indar-bektorearen norabidea bi masak lotzen dituen zuzenarena da. Erakarlea da beti.
• Distantziarako indarrak dira. Indarra eragiteko ez da beharrezkoa inolako materialik haien artean egotea.
• Beti binaka ageri dira (akzio-erreakzio printzipioa). Bi indarrek modulu eta norabide bera dute, baina aurkako noranzkoa.
• Grabitazio unibertsalaren konstantearen (G ≈ 6.67 × 10^-11 N·m²/kg²) balioa oso txikia denez, masa txikiko gorputzen arteko indarra hautemanezina izan daiteke eguneroko esperientzian.

Lana eta Energia Eremu Grabitatorioan

Indar-eremu Kontserbakorrak

Indar-eremu bat kontserbakorra da partikula bat A puntutik B puntura eramateko eremuaren indarrek egindako lana ibilbidearen independentea denean, hau da, hasierako eta amaierako puntuen menpekoa soilik denean. Eremu grabitatorioa kontserbakorra da.

Propietateak:

• Ibilbide itxi batean egindako lana nulua da (∮ F · dr = 0).
• Gorputz batean eragiten duten indar guztiak kontserbakorrak badira, gorputzaren energia mekanikoa konstante mantentzen da (ΔE_m = 0). Aldiz, indar ez-kontserbakorrak badaude (marruskadura, adibidez), energia mekanikoa ez da kontserbatzen.

Masa Puntual Baten Potentzial Grabitatorioa

Espazioko puntu bateko potentzial grabitatorioa (V) masa-unitatea puntu horretatik infinituraino (potentzial nuluko puntua) eramateko eremu grabitatorioak egiten duen lana da. Eskalar bat da, J/kg-tan neurtzen da.

V = -GM/r

Puntu horretan kokatutako m masa baten energia potentzial grabitatorioa hau da:

E_p = m·V = -GMm/r

Distantzia (r) handitu ahala, potentziala (V) eta energia potentziala (E_p) handitu egiten dira (balio negatibo txikiagoak bihurtzen dira, zerorantz hurbilduz).

Energia Mekaniko Osoa eta Kontserbazioa

Gorputz baten energia mekaniko osoa (E_m) bere energia zinetikoaren (E_k) eta energia potentzialaren (E_p) batura da: E_m = E_k + E_p.

Lurraren inguruan orbita zirkularrean (erradioa r = R_L + h) dabilen m masako satelite baten kasuan:

E_k = ½ mv² = GM_Lm / 2r

E_p = -GM_Lm / r

E_m = E_k + E_p = (GM_Lm / 2r) - (GM_Lm / r) = -GM_Lm / 2r

Energia mekanikoa negatiboa da (sistemak lotuta daudela adierazten du) eta energia potentzialaren erdiaren balioa du (E_m = E_p / 2). Era berean, E_m = -E_k.

Indar kontserbakorrak soilik ari badira lanean, energia mekanikoa kontserbatu egiten da:

E_mA = E_mB

E_kA + E_pA = E_kB + E_pB