Grabitatearen Oinarriak: Indarra, Eremua eta Energia

1. Elkarrekintza Grabitatorioa

1.1. Grabitazio Lege Unibertsala (GLU): Enuntziatu eta Adierazpen Matematikoa

Bi masa puntualek elkar erakarri egiten dute, beren masen biderkaduraren zuzenki proportzionala eta beren arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala den indar batez.

Adierazpen matematikoa:

\(F_g = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \mathbf{u}_r\)

Osagaiak

• \(F_g\): Indar grabitatorioa (N)
• \(G\): Konstante grabitazional unibertsala
• \(m_1, m_2\): Partikulen masak (kg)
• \(r\): Partikulen arteko distantzia (m)

Ezaugarriak

Indar grabitatorioa:

• Indar zentrala da.
• Indar erakarlea da.
• Akzio-erreakzio indarrak betetzen ditu (hirugarren legea).
• Distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da.

1.3. Partikula Batek Sortzen Duen Eremu Grabitatorioa

Eremu Grabitatorioaren Intentsitatea

Gorputz batek masa izateagatik ingurunean sortzen duen perturbazioari deritzogu eremu grabitatorioa.

Eremu grabitatorioa deskribatzeko bi magnitude ditugu:

1. Bektoriala (\(\mathbf{g}\))
2. Eskalarra (\(V\))

\(\mathbf{g}\): Espazioko puntu baten eremu grabitatorioaren intentsitatea da, puntu horretan masa-unitateak jasango lukeen indarra. \(\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m}\) (N/kg).

Partikula batek sorturiko \(\mathbf{g}\) adierazpenaren osagaiak

Masa \(M\) batek sortutako eremua:

\(\mathbf{g} = -G \frac{M}{r^2} \mathbf{u}_r\)

Ezaugarriak

\(\mathbf{g}\) eremua zentrala denez, kontserbakorra eta erradiala da, eta distantziaren karratuarekiko txikitzen da.

Superposizioaren Printzipioa

Espazioko puntu batean masa batek edo gehiagok eragiten duten eremu grabitatorioaren intentsitatea kalkulatzeko, puntu horretan masa bakoitzak sorturiko eremuen batura bektoriala egingo dugu: \(\mathbf{E}_{gp} = \mathbf{g}_1 + \mathbf{g}_2 + ...\)

Eremu Grabitatorioaren Irudikapena

Eremu lerroak eta gainazal ekipotentzialak erabiliz irudikatzen da. Masa bakarra dugunean, lerroak erradialak dira, infinituan jaiotzen dira eta \(M\) masan hiltzen dira.

• Indar lerroek masa unitateak jarraituko lukeen bidea erakusten digute.
• Eremu lerroak eremu grabitatorioan irekiak dira.
• Eremu lerroak ezin dira gurutzatu, puntu bakoitzeko balore bakarra duelako.

1.4. Energia Potentzial Grabitatorioa eta Potentzial Grabitatorioa

Lana eta Energia Potentziala

Lana (W) eta energia potentzialaren (\(E_p\)) arteko erlazioa:

\(W_{\text{konts}} = -\Delta E_p = E_{p,a} - E_{p,b} = G\frac{Mm}{r_a} - G\frac{Mm}{r_b}\)

• \(r_a < r_b\): \(W > 0\). Eremu grabitatorioak egiten du lana.
• \(r_a > r_b\): \(W < 0\). Kanpoko indar batek eremu grabitatorioaren aurka egiten du lana.

Energia Potentzial Grabitatorioa

Masa batek puntu batean duen energia potentziala, masa hori puntu horretatik infinituraino eramateko egin behar den lanaren aurkakoa da:

\(E_p = -G\frac{Mm}{r}\)

Potentzial Grabitatorioa (V)

Puntu batetik infinituraino masa unitatea eramateko egin behar den lana (\(W\)). \(M\) masaren eraginpean egoteagatik masa unitateak duen energia potentziala:

\(V = \frac{E_p}{m} = -G\frac{M}{r}\) (J/kg)

Gainazal Ekipotentzialak

Balio bereko potentzial grabitatorioa duten puntuak biltzean, gainazal ekipotentzialak lor ditzakegu.

• Eremu-lerroekiko elkartzutak dira.
• Gainazal ekipotentzial horietan, \(W = m(V_1 - V_2) = m \cdot 0 = 0\).

1.5. Lurraren Eremu Grabitatorioa eta Energia Potentziala Lurraren Inguruan

Lurraren Eremu Grabitatorioaren Intentsitatea

Lurraren masa guztia erdiko puntuan kontzentratuta dagoela suposatuz, eremu grabitatorioaren adierazpena:

\(\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = -G\frac{M_L}{r^2} \mathbf{u}_r\)

Altuerarekiko Aldaketa

Lurraren eremu grabitatorioaren intentsitatea altuerarekiko (\(h\)) aldatu egiten da:

\(g(h) = \frac{g_0}{(1 + h/R_L)^2}\)

Energia potentzialaren forma orokorretik lurrazaletik hurbileko balioa ondoriozta daiteke:

\(E_p \approx mgh\)

1.6. Planeta eta Sateliteen Higidura eta Ihes Abiadura

Orbita Zirkularraren Abiadura eta Energia Mekanikoa

Orbita zirkularra dela suposatuz, Newtonen 2. Legea aplikatuz, abiadura orbitala (\(v\)) lortzen da:

\(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)

Ihes Abiadura (\(v_i\))

Gorputz batek lurraren erakarpen-indarrari ihes egiteko behar duen abiadura minimoa da.

• Energia mekanikoa (\(E_m\)) eremu grabitatorioan kontserbatu egiten da.
• Eremu grabitatoriotik ihes egiteko, gorputza infinitura eraman beharko dugu (\(E_{p,\infty} = 0\)).

Ihes abiadura:

\(v_{\text{ihes}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\)