Geometriaren historia: Zenon, Pitagoras, Euklides eta Topologia

Geometria

Zenonen paradoxa

Zenon Eleakoa. Elea, Grezia. K.a. 490–K.a. 430. Eleako eskolako filosofo pre-sokratikoa.

Garrantzia: Pentsamendu arrazionalaren hainbat paradoxa asmatu zituen. Espazioaren, denboraren eta mugimenduaren inguruko eztabaida sortu zuen. Bestetik, reductio ad absurdum frogapen-metodoaren adibideak ere eman zituen.

Dortoka / Gezilaria (Zenonen paradoxa)

Une batean, mugimenduan dagoen objektuak puntu batetik bestera mugitu behar du. Une horretan, objektua dagoen puntuan dagoenez ezin da puntu berrira jo; eta une horretan puntu berrian ez baita oraindik. Hortaz, beste une batean ere mugimendua ezinezkoa dela ondoriozta daiteke, eta paradoxa sortzen da mugimenduaren zentzua zalantzan jarriz.

Pitagorikoak

Pitagoras Samoskoa (K.a. 569–K.a. 475) izan zen sortzailea. Sekretupean mantendu zituzten urte luzez beren sinismenak eta lorpenak.

Sineskerak: Gauzak zenbakiez eginak zeudela eta horiekin dena azaldu zitekeela uste zuten. Eguzki-sisteman anti-lur bat zegoela ere uste zuten.

Lorpenak:

• Zenbakien propietateen azterketa.
• Magnitude elkar-neurgaitzen aurkikuntza.
• Musikaren matematizazioa.

Pitagorasen teorema

Triangelu zuzen baten aldeak erabilita karratu bat osatzen da. Karratuaren aldeak a + b luzera dute eta bere azalera (a + b)² da.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Bestetik, karratuaren azalera bere zatien azaleren batura da: 4 · (a · b) / 2 + c² = 2ab + c².

Adierazpen bi horiek berdinduz, Pitagorasen teorema lortzen da:

a² + b² = c²

Euklides

Euklides — K.a. III. mendeko matematikari grekoa. Aristoteles baino gazteagoa, Arkimedes baino zaharragoa.

Garrantzia: Axiomatizazio metodoaren sorrera. Frogapenen bidez eraikitako teoriaren eredu. Orduarteko emaitza matematiko gehienak biltzen ditu.

Egitura eta edukia

Liburua 13 liburutan banatua dago:

• 1–4: geometriaren oinarrizko teoria.
• 5–6: proposizioen teoria.
• 7–9: aritmetika.
• 10: elkar-neurgaitasunaren teoria.
• 11–13: espazioko geometria.

Postulatuak

1. Lerro zuzen bat marraz daiteke edozein puntutatik edozein puntutara.
2. Zuzen finitu bat etengabe luzatu daiteke lerro zuzenean.
3. Zirkulu bat egin daiteke edozein zentro eta distantzia hartuta.
4. Angelu zuzen guztiak elkarren berdinak dira.
5. Zuzen batek bi zuzen ebakitzean alde bereko barne-angeluak bi angelu zuzen baino txikiagoak badira, bi zuzenek, mugagabeki luzaturik, elkarrekin topo egingo dute alde horretan (Euklidesen bosgarren postulatua).

Liburuko definizioak

Definizioak eta oinarrizko kontzeptuak:

Puntu bat zatirik ez duena da. Lerro bat zabalerarik gabeko luzera da. Lerro baten muturrak puntuak dira.

Liburuko nozio komunak

1. Gauza beraren berdinak diren gauzak elkarren berdinak ere badira.

2. Gauza berdinei gauza berdinak eransten bazaizkie, guztizkoak ere berdinak dira.

3. Gauza berdinei gauza berdinak kentzen bazaizkie, hondarrak ere berdinak dira.

4. Elkarrekin bat datozen gauzak elkarren berdinak dira.

5. Osoa zatia baino handiagoa da.

Geometriaren luzapenak

Geometria proiektiboa

Perspektiba-arazoen irtenbidea emateko garatua. XVIII. mendearen bukaeran landu zen eta Erregealdiko margolariek erabilia izan zen. Paralelismoak infinituan elkartzen direla hartzen du kontuan.

Geometria eliptikoa

Zuzen bat beti hurbiltzen da emandako beste zuzen batera. Triangelu baten angeluen batura π baino handiagoa da.

Geometria hiperbolikoa

Zuzen bat beti urruntzen da emandako beste zuzen batetik. Triangelu baten angeluen batura π baino txikiagoa da.

René Descartes

René Descartes — 1596an jaio eta 1650ean hil. Filosofo, matematikari eta zientzialari frantziarra.

Garrantzia: Bi ezezaguneko ekuazio algebraikoak kurba lau bezala adieraztea. Hein batean, geometria eta algebraren bateratzea lortu zen.

Topologia

Objektu geometrikoen propietate kualitatiboak aztertzen ditu. Deformazio birjarraiez (etengabean) aldatu barik diren propietateak aztertzen ditu. Euler (1707–1783) matematikari suitzarra izan zen aitzindaria.

Geometria fraktalaren printzipioa

Barne-homotezia: zatiak osoarekin antzekotasun txikietan errepikatzen dira. Fraktalen dimentsioa zatien errepikatzean agertzen diren auto-antzekotasun kopuruak zehazten du.