Geometría Vectorial en el Espacio: Fórmulas y Conceptos Fundamentales
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Rectas en el Espacio
Las rectas pueden ser definidas de varias maneras:
- Por un punto y un vector director: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y un vector director Vr(v₁, v₂, v₃).
- Por dos puntos: Dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), donde el vector director Vr = P₁P₂.
Ecuaciones de la Recta
- Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃)
- Paramétrica:
x = x₀ + λv₁
y = y₀ + λv₂
z = z₀ + λv₃ - Continua: (x - x₀)/v₁ = (y - y₀)/v₂ = (z - z₀)/v₃
- General o Implícita: Representa la recta como la intersección de dos planos.
A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0
Planos en el Espacio
Los planos pueden ser definidos de varias maneras:
- Por un punto y dos vectores directores: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y dos vectores directores Vr(v₁, v₂, v₃) y Ur(u₁, u₂, u₃) no proporcionales.
- Por tres puntos no alineados: Tres puntos P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂) y P₃(x₃, y₃, z₃), donde los vectores directores pueden ser Vr = P₁P₂ y Ur = P₁P₃.
Ecuaciones del Plano
- Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃) + υ(u₁,u₂,u₃)
- Paramétrica:
x = x₀ + λv₁ + υu₁
y = y₀ + λv₂ + υu₂
z = z₀ + λv₃ + υu₃ - General o Implícita: Ax + By + Cz + D = 0
Posición Relativa entre Elementos Geométricos
Posición Relativa de Dos Planos (π₁ y π₂)
Sean n₁ y n₂ sus vectores normales.
- Paralelos: Los vectores normales n₁ y n₂ son proporcionales (n₁ = k · n₂) y un punto de π₁ no pertenece a π₂ (es decir, el vector P₁P₂ y n₁ no son proporcionales).
- Coincidentes: Los vectores normales n₁ y n₂ son proporcionales (n₁ = k · n₂) y un punto de π₁ pertenece a π₂ (es decir, el vector P₁P₂ y n₁ son proporcionales).
- Secantes: Los vectores normales n₁ y n₂ no son proporcionales.
Posición Relativa de Dos Rectas (r y s)
Sean Vr y Vs sus vectores directores, y Pr y Ps puntos de cada recta.
- Paralelas: Vr y Vs son proporcionales, y el vector PrPs no es proporcional a Vr (o Vs).
- Coincidentes: Vr y Vs son proporcionales, y el vector PrPs es proporcional a Vr (o Vs).
- Secantes: Vr y Vs no son proporcionales, y el determinante del producto mixto [PrPs, Vr, Vs] = 0.
- Se cruzan: Vr y Vs no son proporcionales, y el determinante del producto mixto [PrPs, Vr, Vs] ≠ 0.
Posición Relativa de una Recta (r) y un Plano (π)
Sean Vr el vector director de la recta y n el vector normal del plano. Sea Pr un punto de la recta y P un punto del plano.
- Paralelos: El producto escalar Vr · n = 0 y el producto escalar PrP · n ≠ 0.
- Coincidentes (Recta contenida en el plano): El producto escalar Vr · n = 0 y el producto escalar PrP · n = 0.
- Secantes: El producto escalar Vr · n ≠ 0.
Cálculo de Ángulos
Ángulo entre Dos Rectas (r y s)
Sean u y v sus vectores directores.
cos(α) = |u · v| / (|u| · |v|)
Ángulo entre Dos Planos (π₁ y π₂)
Sean n₁ y n₂ sus vectores normales.
cos(α) = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)
Ángulo entre una Recta (r) y un Plano (π)
Sean u el vector director de la recta y n el vector normal del plano.
sin(α) = |u · n| / (|u| · |n|)
Cálculo de Distancias
Distancia entre Dos Puntos (A y B)
d(A,B) = |AB|
Distancia de un Punto (P) a una Recta (r)
d(P,r) = |Vr × AP| / |Vr|, donde Vr es el vector director de la recta y A es un punto de la recta.
Distancia de un Punto (P(x₀,y₀,z₀)) a un Plano (π: Ax+By+Cz+D=0)
d(P,π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Distancia entre Dos Rectas Paralelas (r y s)
d(r,s) = |Vr × PrPs| / |Vr|, donde Vr es el vector director común y Pr, Ps son puntos de cada recta.
Distancia entre Dos Rectas que se Cruzan (r y s)
d(r,s) = |[Vr, Vs, PrPs]| / |Vr × Vs|, donde Vr, Vs son los vectores directores y Pr, Ps son puntos de cada recta.
Distancia entre Dos Planos Paralelos (π₁ y π₂)
d(π₁, π₂) = |D₁ - D₂| / √(A² + B² + C²), asumiendo que las ecuaciones de los planos son Ax+By+Cz+D₁=0 y Ax+By+Cz+D₂=0.
Distancia de una Recta (r) a un Plano (π)
Si la recta es paralela al plano, la distancia es la distancia de cualquier punto P de la recta al plano: d(r,π) = d(P,π), donde P ∈ r.
Cálculo de Áreas y Volúmenes
Área del Paralelogramo
Área del paralelogramo ABCD = |AB × AD|
Área del Triángulo
Área del triángulo ABC = |AB × AC| / 2
Volumen del Tetraedro
Volumen del tetraedro = |[AB, AC, AD]| / 6
Volumen del Paralelepípedo
Volumen del paralelepípedo = |[AB, AC, AD]|
Proyección Ortogonal
Proyección de una Recta sobre un Plano
- Calcular el punto de intersección I de la recta r con el plano π.
- Tomar un punto P de la recta r y construir una recta s que pase por P y sea perpendicular al plano π (su vector director será el vector normal n del plano).
- Calcular el punto de intersección P' de la recta s con el plano π.
- La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es la recta que pasa por I y P'.
Proyección de un Punto sobre un Plano
- Construir la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π (su vector director Vr es el vector normal n del plano).
- La proyección ortogonal P' es el punto de intersección de la recta r con el plano π.
Proyección de un Punto sobre una Recta
- Construir el plano π que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r (su vector normal n es el vector director Vr de la recta).
- La proyección ortogonal P' es el punto de intersección del plano π con la recta r.
Punto de Intersección entre Recta y Plano
- Expresar la ecuación de la recta en forma paramétrica.
- Sustituir las expresiones paramétricas de x, y, z de la recta en la ecuación general del plano π.
- Resolver la ecuación resultante para obtener el valor del parámetro λ. Sustituir este valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas del punto de intersección.
Operaciones Vectoriales Fundamentales
Punto Medio de un Segmento AB
M = ((a₁ + b₁)/2, (a₂ + b₂)/2, (a₃ + b₃)/2)
Producto Escalar
u · v = |u| · |v| · cos(θ)
Producto Vectorial
u × v = det(
i j k
u₁ u₂ u₃
v₁ v₂ v₃
)
Producto Mixto
[u, v, w] = u · (v × w) = det(
u₁ u₂ u₃
v₁ v₂ v₃
w₁ w₂ w₃
)
Transformación de Ecuaciones
Pasar de Ecuación Implícita a Paramétrica (Rectas)
- Asignar un parámetro (λ) a una de las variables (x, y o z).
- Resolver el sistema de las dos ecuaciones implícitas en función de este parámetro.
- Expresar las otras dos variables en función del parámetro.
- Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta.
Pasar de Ecuación Implícita a Paramétrica (Planos)
- Asignar dos parámetros (λ y υ) a dos de las variables (x, y o z).
- Sustituir en la ecuación general del plano y despejar la tercera variable en función de los parámetros.
Punto de Corte entre Dos Rectas
- Determinar la posición relativa de las dos rectas. Si son secantes, proceder.
- Expresar los puntos genéricos de cada recta utilizando parámetros diferentes (ej. P(λ) para la recta r y Q(μ) para la recta s).
- Igualar las coordenadas de P(λ) y Q(μ) para formar un sistema de ecuaciones. Resolver el sistema para encontrar los valores de λ y μ. Sustituir el valor de λ en la ecuación de la primera recta (o μ en la segunda) para obtener las coordenadas del punto de corte.
Simetría
Fórmula general: El punto medio M del segmento PP' es el centro de simetría.
Simetría de un Punto P respecto a otro Punto M
- Utilizar la fórmula M = (P + P') / 2, donde P' es el punto simétrico. Despejar P'.
Simetría de un Punto P respecto a una Recta r
- Obtener el plano π que pasa por P y es perpendicular a la recta r (su vector normal n es el vector director Vr de la recta).
- Calcular el punto de intersección M del plano π con la recta r (este es el punto de proyección de P sobre r).
- Utilizar la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, donde P' es el punto simétrico. Despejar P'.
Simetría de un Punto P respecto a un Plano π
- Obtener la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π (su vector director Vr es el vector normal n del plano).
- Calcular el punto de intersección M de la recta r con el plano π (este es el punto de proyección de P sobre π).
- Utilizar la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, donde P' es el punto simétrico. Despejar P'.