Geometría Vectorial en el Espacio: Ecuaciones, Posiciones y Proyecciones

Geometría Analítica en el Espacio

Ecuaciones de la Recta y el Plano

Ecuaciones de la Recta

Para definir la ecuación de una recta en el espacio, se necesita un punto por el que pase la recta y un vector director que indique su dirección.

• Ecuación Vectorial
• Ecuación Paramétrica
• Ecuación Continua
• Ecuación General (o Implícita)

Ecuaciones del Plano

Para definir la ecuación de un plano, se necesita un punto perteneciente al plano y dos vectores directores no paralelos entre sí que sean paralelos al plano.

La Ecuación General del plano se puede obtener de varias maneras, por ejemplo, a partir de un vector normal al plano y un punto, sustituyendo las coordenadas del punto para hallar el término independiente D.

Posiciones Relativas de Elementos Geométricos

Posiciones Relativas de Dos Rectas

Sean dos rectas r y s con vectores directores v_r y v_s respectivamente. Sea P un punto de r y Q un punto de s.

• Si los vectores directores son proporcionales (v_r || v_s):

  • Coincidentes: Si el vector PQ es proporcional a v_r (o v_s).
  • Paralelas: Si el vector PQ no es proporcional a v_r (o v_s).

• Si los vectores directores no son proporcionales (v_r v_s):

  • Secantes: Si los vectores v_r, v_s y PQ son coplanares, es decir, si det(v_r, v_s, PQ) = 0.
  • Se cruzan: Si los vectores v_r, v_s y PQ no son coplanares, es decir, si det(v_r, v_s, PQ) ≠ 0.

Posiciones Relativas de Dos Planos

Sean dos planos π_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 y π_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0.

• Coincidentes: Si los coeficientes son proporcionales: A_1/A_2 = B_1/B_2 = C_1/C_2 = D_1/D_2.
• Paralelos: Si los coeficientes de las variables son proporcionales, pero no el término independiente: A_1/A_2 = B_1/B_2 = C_1/C_2 ≠ D_1/D_2.
• Secantes: Si los coeficientes de las variables no son proporcionales (es decir, A_1/A_2 ≠ B_1/B_2 o B_1/B_2 ≠ C_1/C_2).

Posiciones Relativas de una Recta y un Plano

Para determinar la posición relativa de una recta y un plano, se puede estudiar el sistema de ecuaciones lineales formado por ambos. Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada del sistema.

• Secantes (en un punto): Si rango(A) = rango(A*) = 3.
• Paralelas: Si rango(A) = 2 y rango(A*) = 3.
• Recta contenida en el plano (coincidentes): Si rango(A) = rango(A*) = 2.

Posiciones Relativas de Tres Planos

Para tres planos, π_1, π_2, π_3, se analiza el sistema de ecuaciones lineales que los representa. Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada.

• Secantes en un punto: rango(A) = rango(A*) = 3.
• Secantes en una recta: rango(A) = rango(A*) = 2.
• Coincidentes (los tres planos): rango(A) = rango(A*) = 1.
• Secantes dos a dos (formando un prisma triangular): rango(A) = 2 y rango(A*) = 3 (y no hay planos paralelos).
• Dos planos paralelos y uno secante: rango(A) = 2 y rango(A*) = 3 (y hay dos planos paralelos).
• Tres planos paralelos: rango(A) = 1 y rango(A*) = 2 (y los tres planos son paralelos entre sí).
• Dos planos coincidentes y uno paralelo: rango(A) = 1 y rango(A*) = 2 (y dos planos son coincidentes, el tercero paralelo).

Medida de Ángulos y Proyecciones

Medida de Ángulos

• Ángulo entre dos rectas

• Ángulo entre dos planos

• Ángulo entre una recta y un plano

Perpendicularidad

• Dos vectores u y v son perpendiculares si su producto escalar es cero: u ⋅ v = 0.
• Dos rectas r y s son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
• Un vector normal (n) a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano.
• Una recta r es perpendicular a un plano π si su vector director es paralelo al vector normal del plano (v_r || n_π).
• Dos planos π_1 y π_2 son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares: n_1 ⋅ n_2 = 0.

Proyección Ortogonal

De un punto P sobre una recta r

1. Hallar un plano π que contenga al punto P y sea perpendicular a la recta r.
2. La proyección ortogonal P' será el punto de intersección entre la recta r y el plano π.

De una recta r sobre un plano π

1. La proyección ortogonal de r sobre π es la recta intersección del plano π con un plano auxiliar π'.
2. El plano π' debe ser perpendicular a π y contener a la recta r.
3. Caso especial: Si la recta r es perpendicular al plano π, su proyección ortogonal será el punto de intersección de r con π.

De un punto P sobre un plano π

1. Construir una recta r que sea perpendicular al plano π y que contenga al punto P.
2. La proyección ortogonal P' será el punto de intersección del plano π con la recta r.