Geometría del Plano: Transformaciones, Movimientos e Isometrías Esenciales

Geometría del Plano: Transformaciones y Movimientos Esenciales

1. Definición de Transformaciones y Movimientos en el Plano

Transformación del plano: Es una correspondencia puntual y biunívoca entre los puntos de dicho plano, tal que a cada punto, considerado como origen, le corresponde en el mismo plano un único punto, denominado imagen o transformado del primero, de acuerdo con una condición previamente establecida.

Movimientos o isometrías: Existen muchas formas de transformar el plano, pero nos centraremos en las transformaciones que conservan las distancias. Es decir, en aquellas en las que la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados, las cuales reciben el nombre de movimientos o isometrías.

Tipos de movimientos en el plano:

Existen cuatro tipos de movimientos en el plano: traslación, giro o rotación, simetría axial y la simetría con deslizamiento.

2. Definición de Traslación y sus Características

Traslación: Es el movimiento definido por un vector v dado, que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A' tal que el vector AA' tiene el mismo módulo y dirección que el vector v. Por lo tanto, el objeto trasladado es el mismo objeto en otra posición, conservando todas sus dimensiones.

3. Definición de Giro (Rotación) con Centro O

Giro: Es el movimiento que transforma un punto A en otro A' tal que OA = OA' y el ángulo AOA', con vértice en O, es igual en amplitud y sentido al ángulo de giro establecido.

4. Definición de Simetría Central (con Centro O)

Simetría central: Es la transformación que hace corresponder a cada punto A otro punto, que designaremos por A', tal que el punto O sea el punto medio del segmento AA'.

5. Figuras Simétricas: Ejes de Simetría

Diremos que una figura tiene un eje de simetría cuando se puede trazar una recta que la divide de tal forma que queda partida en dos figuras iguales que pueden ponerse en correspondencia mediante una simetría axial. De estas figuras decimos que son invariantes al aplicarles una simetría axial; en ese caso, la recta se denomina eje de simetría de la figura. Existen figuras que poseen más de un eje de simetría; cuanta mayor cantidad de ejes de simetría, más regulares nos parecen.

6. Figuras Simétricas: Centro de Simetría

Si al girar una figura con centro en el punto O y según un ángulo menor de 360º, esta coincide consigo misma, el punto O se denomina centro de giro de la figura. Si al aplicar a una figura un giro de 360º alrededor de su centro se producen n coincidencias, dicho centro se denomina de orden n y la figura se considera invariante de orden n.