Geometría Plana: Propiedades de Triángulos, Cuadriláteros y Polígonos

Geometría del Plano: Triángulos y Cuadriláteros

Clasificación de Triángulos

Según sus lados:

• Equilátero: Los tres lados son iguales.
• Isósceles: Dos lados son iguales y uno desigual.
• Escaleno: Los tres lados son desiguales.

Según sus ángulos:

• Acutángulo: Los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
• Rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º).
• Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º).

Propiedades y Elementos Notables

Propiedad triangular: En un triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Igualdad de triángulos: Dos triángulos son iguales (o congruentes) si se cumple alguno de los criterios de igualdad, como por ejemplo, si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual (criterio Lado-Ángulo-Lado).

Suma de ángulos interiores: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180º.

Elementos Notables y Puntos de Intersección

• Mediatrices: Son las mediatrices de sus lados. Se cortan en el circuncentro.
• Bisectrices: Son las bisectrices de sus ángulos. Se cortan en el incentro.
• Medianas: Son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Se cortan en el baricentro.
• Alturas: Son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados desde el vértice opuesto. Se cortan en el ortocentro.
• Recta de Euler: Es la recta que une el baricentro, el ortocentro y el circuncentro de un mismo triángulo.

Teorema de Thales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos que se determinan en las rectas paralelas son proporcionales. Una consecuencia del teorema de Thales es la siguiente: si cortamos un triángulo por una paralela a uno de sus lados, obtenemos un triángulo cuyos lados son proporcionales a los del primero.

División de un segmento en partes iguales:

1. Se traza una semirrecta auxiliar r.
2. Se trazan segmentos iguales sobre la semirrecta auxiliar.
3. Se unen los puntos C y B.
4. Se trazan paralelas al segmento CB.

Cuadriláteros

Son polígonos de cuatro lados.

Cuadrado: Es el único cuadrilátero regular. Tiene especial relevancia porque recubre el plano y es la unidad de medida de superficie.

Clasificación de Cuadriláteros

• Paralelogramos (lados paralelos dos a dos):
  • Cuadrado
  • Rectángulo
  • Rombo
  • Romboide
• Trapecios (solo tienen dos lados paralelos):
  • Trapecio rectángulo
  • Trapecio isósceles
  • Trapecio escaleno
• Trapezoides (los lados no son paralelos).

Perímetro

Es una magnitud lineal de una dimensión, relacionada con la medida del contorno. Se calcula como la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica.

Geometría del Plano: Polígonos

Línea poligonal: Conjunto finito y ordenado de segmentos consecutivos.

Polígono: Línea poligonal simple y cerrada.

Tipos de Polígonos

• Convexo: Todos sus ángulos interiores son convexos (menores de 180º) y todas sus diagonales están dentro del polígono.
• Cóncavo: Tiene al menos un ángulo interior mayor de 180º. Existen dos puntos tales que el segmento que los une no queda totalmente incluido dentro del polígono.
• Regular: Todos sus lados y ángulos son iguales.
• Irregular: Sus lados y/o ángulos no son todos iguales.

Materiales Didácticos: El Tangram

Es un juego de origen chino compuesto por siete piezas (cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo). Es útil para la preparación de la noción de superficie y para profundizar en el estudio de figuras geométricas (número de lados, etc.) o las relaciones entre figuras (composición y descomposición).

Nombres de Polígonos Regulares

• 3 lados: Triángulo
• 4 lados: Cuadrilátero
• 5 lados: Pentágono
• 6 lados: Hexágono
• 7 lados: Heptágono
• 8 lados: Octógono
• 9 lados: Eneágono o nonágono
• 10 lados: Decágono
• 11 lados: Endecágono
• 12 lados: Dodecágono
• 20 lados: Icoságono

Elementos de un Polígono

Ángulo central: Es el ángulo formado por dos radios consecutivos.

Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.