Geometria Plana: Angles, Circumferències i Polígons

Angle

És la porció de superfície delimitada per dues semirectes, anomenades costats, que tenen un punt en comú anomenat vèrtex. Els angles es mesuren en graus, generalment amb un semicercle graduat.

La bisectriu d'un angle és la semirecta que el divideix en dues parts iguals.

Tipus d'Angles

• Aguts: mesuren menys de 90º.
• Rectes: mesuren exactament 90º.
• Obtusos: mesuren més de 90º i menys de 180º.
• Plans: mesuren 180º.
• Complets o centrals: mesuren 360º.
• Complementaris: dos angles que tenen un vèrtex i un costat en comú, i la suma de les seves amplituds és de 90º.
• Suplementaris: dos angles que tenen un vèrtex i un costat en comú, i la suma de les seves amplituds és de 180º.
• Mixtilini: angle format per una línia recta i una línia corba.

La Circumferència

La circumferència és una línia corba tancada en què tots els seus punts estan a la mateixa distància d'un punt interior anomenat centre.

Elements de la Circumferència

• Centre (O): punt interior equidistant de tots els punts de la circumferència.
• Radi (R): segment que uneix el centre amb qualsevol punt de la circumferència.
• Diàmetre (D): segment que uneix dos punts de la circumferència passant pel centre. És el doble del radi (D = 2R).
• Corda (AB): segment que uneix dos punts qualssevol de la circumferència.
• Arc (CD): porció de la circumferència compresa entre dos dels seus punts.
• Tangent (T): recta que toca la circumferència en un sol punt, anomenat punt de tangència.
• Secant (S): recta que talla la circumferència en dos punts.

Si es tracen dos diàmetres perpendiculars, la circumferència queda dividida en quatre parts iguals (quatre quadrants). Si es tracen les bisectrius d'aquests quatre angles rectes formats, la circumferència es divideix en vuit parts iguals. L'angle central complet és de 360º.

Oval i Ovoide

Oval

És una corba tancada i plana formada per quatre arcs de circumferència, normalment tangents entre si. Aquests arcs són iguals dos a dos. L'oval té dos eixos de simetria perpendiculars entre si.

Ovoide

És una corba tancada i plana formada per quatre arcs de circumferència, tangents entre si. Dos d'aquests arcs són iguals (els que formen la part més arrodonida o 'cap') i els altres dos són diferents (un més gran i un més petit, formant el 'cos'). Té dos eixos perpendiculars: un eix de simetria (l'eix major) i un eix menor.

Espirals

Una espiral és una línia corba que es desenvolupa de forma progressiva i ordenada al voltant d'un punt o eix central, allunyant-se'n o apropant-s'hi contínuament. Com els ovals i altres figures amb enllaços i tangents, l'espiral és una forma molt utilitzada en el disseny i en l'art. També s'observa freqüentment a la natura, per exemple: en algunes galàxies, en la closca dels caragols, en el creixement de les falgueres, en les banyes de certs animals (com les cabres) o en productes com les ensaïmades.

Polígons Regulars

Un polígon és la porció del pla limitada per una línia poligonal tancada. Els seus elements principals són els costats i els vèrtexs.

Classes de Polígons

• Polígons Equilàters: aquells que tenen tots els costats iguals.
• Polígons Equiangulars: aquells que tenen tots els angles iguals.
• Polígons Regulars: aquells que són equilàters i equiangulars alhora (és a dir, tenen tots els costats i tots els angles iguals).

Polígon Inscrit en una Circumferència

Un polígon està inscrit en una circumferència quan es troba a l'interior d'aquesta i tots els seus vèrtexs són punts de la circumferència.

Polígon Circumscrit a una Circumferència

Un polígon està circumscrit a una circumferència quan es troba a l'exterior d'aquesta i tots els seus costats són tangents a la circumferència.

Traçats de Polígons Regulars

Mètode General

Aquest mètode és generalment més llarg i laboriós, i pot ser menys exacte que els mètodes particulars. No obstant això, té l'avantatge de poder aplicar-se seguint els mateixos passos per a traçar diferents tipus de polígons regulars.

Mètode Particular

Aquest mètode és específic per a cada tipus de polígon regular (per exemple, triangle equilàter, quadrat, pentàgon, etc.) i sol ser més exacte i directe que el mètode general.