Geometria: Laukizuzenak, Zirkunferentziak, Angeluak eta Triangeluak

Laukiak

Lauki ganbilen artean, beren aldeak binaka paraleloak dituztenei paralelogramo deritze, eta bi alde paralelo eta beste bi ez paraleloak dituztenei, trapezio.

• Aldeak binaka paraleloak dituzten laukiak (paralelogramoak):
  • Lau aldeak berdinak dituzten paralelogramoei erronbo deritze.
  • Lau angeluak berdinak dituzten paralelogramoei laukizuzen deritze.
  • Lau aldeak eta lau angeluak berdinak dituzten laukiei karratu deritze.

Zirkunferentzia

Zirkunferentzia: zentro izeneko puntu batetik distantzia berdinera dauden puntuen multzoa da.

• Erradioa: zentrutik zirkunferentziako edozein puntura dagoen distantzia.
• Korda: zirkunferentziako edozein bi puntu elkartzen dituen zuzenkia.
• Diametroa: zentrutik pasatzen den korda da, eta bi aldiz erradioa neurtzen du.
• Arkua: zirkunferentziaren edozein zati.

Eraikuntzak

1. Zuzenki baten erdibitzailea

Zuzenki baten erdigunean marraztutako elkartzutari zuzenkiaren erdibitzailea deritzo.

Konpasarekin:

1. Zuzena marraztu.
2. Konpasaren zentrua A puntuan jarri eta arku bat marraztu, zuzenkiaren erdia baino irekidura handiagoarekin.
3. Irekitura berdinarekin, konpasaren zentrua B puntuan jarri eta beste arku bat marraztu.
4. Bi arkuak ebakitzen diren puntuak lerro zuzen batez lotu. Lerro hau erdibitzailea da.

2. Angelu baten erdikaria

Angelu bat zati berdinetan zatitzen duen zuzenerdiari angeluaren erdikaria deritzo.

Konpasarekin:

1. Konpasaren zentrua angeluaren erpinean jarri, eta edozein irekidurarekin, bi aldeak ebakitzen dituen arku bat marraztu.
2. Arkuak aldeak ebakitzen dituen puntuetan zentrua jarriz, eta irekidura berdinarekin, bi arku berri marraztu angeluaren barnealdean.
3. Bi arku berriak ebakitzen diren puntutik erpinera doan zuzenerdia marraztu. Zuzenerdi hau erdikaria da.

3. Zuzen bati kanpo-puntu batetik elkartzuta

1. Kanpo-puntutik zuzenkiko puntu batera neurtu.
2. Zuzenki honen erdibitzailea aurkitu.
3. Kanpo-puntua eta erdibitzailearen intersekzioa lotu.

Angeluen propietateak: Erlazioak

Bi zuzen gurutzatzen direnean, lau angelu sortzen dira. Angeluen arteko erlazioak:

• Angelu auzokideak: erpin eta alde komun bat dituzten bi angelu. Angelu auzokideak betegarriak dira (180º batzen dituzte). Adibidez: a eta b.
• Erpinez aurkako angeluak: erpin komuna duten bi angelu, non baten aldeak bestearen aldeen luzapenak diren. Erpinez aurkako angeluak berdinak dira. Adibidez: a eta c.

Lerro zuzen batek beren artean paraleloak diren beste bi lerro zuzen ebakitzen baditu, zortzi angelu eratzen dira, eta binaka hartuta, izen bereziak dituzte:

• Erpinez aurkakoak: a eta c, b eta d, e eta g, f eta h.
• Angelu parekideak: a eta e, b eta f, d eta h, c eta g.
• Txandakako barne-angeluak: c eta e, d eta f.
• Txandakako kanpo-angeluak: a eta g, b eta h.

r eta s zuzen paraleloak direnez, angelu parekideak eta aurkakoak berdinak dira. Ondorioz: a = c = e = g (zorrotzak) eta b = d = f = h (kamutsak)

Triangelu baten angeluen arteko batura

Triangelu baten hiru angeluen batura 180º da.

Laukien angeluen batura

Lauki baten lau angeluen batura 360º da. Bost angeluko poligono baten angeluen batura 540º da, eta sei angeluko batena, 720º. Oro har, n alde dituen poligono baten n angeluen arteko batura (n-2) x 180º da.

Angeluak zirkunferentzian

Zirkunferentzia batean, erpin bera duten bi kordek osatzen duten angeluari angelu inskribatua deritzo. Bi erradiok osatzen duten angeluari, berriz, angelu zentrala deritzo.

Triangeluen elementu bereziak

• Erdibitzailea: Zuzenki bat bi zati berdinetan banatzen duen erdiko puntuko zuzen elkartzuta.
• Zirkunzentroa: Triangelu baten hiru aldeen erdibitzaileak elkartzen diren puntua. Triangeluaren barruan edo kanpoan egon daiteke.
• Erdikaria: Angeluaren erditik pasatzen den zuzenkia.
• Inzentroa: Triangeluaren hiru erdikariak elkartzen diren puntua. Beti triangeluaren barruan dago, eta triangeluaren barruan egin daitekeen zirkunferentzia handienaren zentroa da.
• Mediana: Erpin batetik aurkako aldearen erdiko puntura doan zuzena.
• Barizentroa: Triangeluaren hiru medianak elkartzen diren puntua. Triangeluaren oreka-puntua edo grabitate-zentroa da, eta beti triangeluaren barnean dago.
• Altuera: Erpin batetik aurkako aldera (edo honen luzapenera) doan zuzen elkartzuta.
• Ortozentroa: Triangeluaren hiru altuerak elkartzen diren puntua. Triangeluaren barnean edo kanpoan egon daiteke.
• Eulerren zuzena: Zirkunzentroa, barizentroa eta ortozentroa beti zuzen batez lotu daitezke, triangelu mota edozein izanda ere. Kasu batzuetan, inzentroa ere Eulerren zuzenean dago. Triangelu zuzen aldekideetan, zirkunzentroa, inzentroa, barizentroa eta ortozentroa puntu bera dira.

Irudiak inskribatzea

• Karratua:
  1. Diagonal bat marraztu.
  2. Diagonal horren erdibitzailea aurkitu.
  3. Konpasarekin, bi arku marraztu, diagonalaren muturretan zentrua jarriz.
  4. Arkuen ebaki-puntuak lotu.
• Hiruki aldekidea:
  1. Diametro bat marraztu.
  2. Diametroaren erdiko puntutik abiatuta, hiru puntu berdin banandu zirkunferentzian.
  3. Puntu horiek lotu.

Simetria

Bi puntu simetrikoren simetria-ardatza zein den jakiteko, nahikoa da orria tolestu eta bi puntuak bat etorraraztea.

Konpasarekin:

1. P puntutik zuzenkira eta zirkunferentziako loturara distantzia neurtu.
2. A puntutik kanpoaldera arku bat marraztu.
3. B puntutik, distantzia berdinera, beste arku bat marraztu.
4. Bi arkuak elkartzen diren puntua P-ren puntu simetrikoa izango da (P').