Geometría Esencial: Fórmulas, Teoremas y Conceptos Fundamentales

Este documento compila las definiciones y fórmulas más importantes de la geometría plana, abarcando desde los elementos básicos de las figuras hasta los teoremas fundamentales y las clasificaciones clave.

Fórmulas y Cálculos Geométricos

A continuación, se listan las áreas y longitudes de las figuras geométricas más comunes, así como teoremas esenciales:

• Área del Rectángulo
• Área del Cuadrado
• Área del Rombo / Romboide
• Área del Triángulo
• Área del Trapecio
• Área de un Polígono Regular
• Teorema de Tales (aplicaciones diversas)
• Teorema de la Altura
• Teorema del Cateto
• Teorema de Pitágoras
• Área del Círculo
• Longitud de la Circunferencia
• Longitud de un Arco
• Área del Sector Circular
• Área del Segmento Circular (para ángulos menores y mayores de 180°)
• Área de la Corona Circular
• Área del Trapecio Circular

Conceptos Fundamentales de Geometría Plana

Puntos Notables del Triángulo

Bisectriz:

Recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Su punto de intersección es el Incentro.

Mediana:

Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Su punto de intersección es el Baricentro.

Altura:

Segmento perpendicular a un lado o su prolongación, trazado desde el vértice opuesto. Su punto de intersección es el Ortocentro.

Mediatriz:

Recta perpendicular a un lado, trazada en su punto medio. Su punto de intersección es el Circuncentro.

Elementos de un Polígono

Polígono:

Porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Lado:

Cualquiera de los segmentos que limitan el polígono.

Vértice:

Punto donde se unen dos lados consecutivos.

Diagonal:

Segmento que une dos vértices no consecutivos.

• Número de diagonales desde un vértice: n - 3
• Número de triángulos en que se divide un polígono desde un vértice: n - 2
• Número total de diagonales de un polígono (concepto)

Ángulo Interior:

Ángulo formado por dos lados consecutivos. La suma de los ángulos interiores de un polígono de 'n' lados es: (n - 2) × 180º.

Ángulo Exterior:

Ángulo formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo. La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo es: 360º.

Clasificación de Figuras Geométricas

Clasificación de Triángulos

• Según la medida de sus ángulos:
  • Rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º).
  • Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos (< 90º).
  • Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (> 90º).
• Según la longitud de sus lados:
  • Equilátero: Tres lados iguales y tres ángulos iguales (60º cada uno).
  • Isósceles: Dos lados iguales y dos ángulos iguales.
  • Escaleno: Todos sus lados y ángulos son diferentes.

Clasificación de Cuadriláteros

• Paralelogramos: Cuadriláteros con lados opuestos paralelos.
  • Cuadrado: Cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
  • Rectángulo: Lados opuestos iguales y cuatro ángulos rectos.
  • Rombo: Cuatro lados iguales y ángulos opuestos iguales (no rectos).
  • Romboide: Lados opuestos iguales y ángulos opuestos iguales (no rectos).
• Trapecios: Cuadriláteros con al menos un par de lados paralelos (bases).
  • Trapecio Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos.
  • Trapecio Isósceles: Lados no paralelos iguales y ángulos de la base iguales.
• Trapezoides: Cuadriláteros sin lados paralelos.

Otros Polígonos por Número de Lados

• Pentágono: 5 lados
• Hexágono: 6 lados
• Heptágono: 7 lados
• Octógono: 8 lados
• (Y así sucesivamente para polígonos de 'n' lados)

Teoremas Fundamentales

Teorema de Tales:

Si varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos formados en la primera recta secante son proporcionales a los segmentos formados en la segunda recta secante.

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (a² + b² = c²).

Elementos y Posiciones Relativas de la Circunferencia

Elementos de la Circunferencia

Radio:

Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda:

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro:

Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Mide el doble que el radio.

Arco:

Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.

Posiciones Relativas de una Recta y una Circunferencia

Recta Tangente:

Recta que tiene un único punto en común con la circunferencia.

Recta Secante:

Recta que tiene dos puntos en común con la circunferencia.

Recta Exterior:

Recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia.

Posiciones Relativas de Dos Circunferencias

Tangentes Exteriores:

Tienen un punto en común.

Tangentes Interiores:

Tienen un punto en común.

Exteriores:

No tienen ningún punto en común.

Interiores:

No tienen ningún punto en común.

Interiores (segunda mención en el original):

No tienen ningún punto en común.