Geometría Esencial: Ángulos, Triángulos y Puntos Notables para Estudiantes

Conceptos Fundamentales de Ángulos

Ángulos Adyacentes

Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos A y B son ángulos suplementarios si su suma es igual a 180°.

Ángulos Complementarios

Los ángulos complementarios son aquellos cuyas medidas suman 90° (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son a su vez consecutivos, los lados no comunes de estos forman un ángulo recto.

Ángulos Consecutivos

Los ángulos consecutivos o ángulos contiguos son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común. Así, dados varios ángulos, serán consecutivos cuando cada uno de ellos esté ordenado de forma que comparta un lado con el ángulo siguiente y todos tengan el mismo vértice. Son ángulos consecutivos, por ejemplo, los conjugados y los adyacentes.

Teoremas y Propiedades de Rectas y Ángulos

• Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales.
• Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
• Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y solo si un par de ángulos alternos internos son congruentes.
• Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes forman un ángulo recto.
• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a un ángulo llano (180°).

Geometría de Triángulos: Semejanza y Congruencia

Triángulos Semejantes

Los triángulos semejantes son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales (es decir, tienen la misma forma, aunque puedan tener distinto tamaño). La razón de semejanza es el valor común de los cocientes entre las longitudes de lados proporcionales.

Posición de Tales

Si dos triángulos tienen un ángulo común (el ángulo mide lo mismo y los lados de uno de los triángulos contienen a los del otro) y los lados opuestos a dichos ángulos son paralelos, se dice que los triángulos están en posición de Tales.

Criterios de Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. Tienen dos ángulos iguales (criterio AA).
2. Tienen los tres lados proporcionales (criterio LLL).
3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual (criterio LAL).

Congruencia de Triángulos

Dos figuras son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamaño. Los criterios de congruencia de triángulos nos indican que no es necesario verificar la congruencia de los seis pares de elementos (tres pares de lados y tres pares de ángulos). Bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia con solo tres pares de elementos.

Criterios de Congruencia de Triángulos

• Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
• Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
• Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.

Puntos Notables en el Triángulo

• El Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.
• La Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• El Baricentro: Punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
• El Ortocentro: Punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
• El Incentro: Punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo.

Clasificación de Polígonos por sus Ángulos

• Un polígono es cóncavo si tiene al menos un ángulo interior mayor de 180°.
• Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180°.

Corolarios de Congruencia de Triángulos Rectángulos e Isósceles

1. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen, respectivamente, un cateto y un ángulo agudo iguales.
2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen, respectivamente, sus catetos iguales.
3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen, respectivamente, un cateto y la hipotenusa iguales.
4. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen, respectivamente, la hipotenusa y un ángulo agudo iguales.
5. Dos triángulos isósceles son congruentes si tienen igual base y ángulo basal.
6. Dos triángulos isósceles son congruentes si tienen iguales el lado y el ángulo del vértice.
7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si tienen igual el lado.