Geometria Descriptiva: Sistemes de Representació i Projeccions

Geometria Descriptiva

La geometria descriptiva estableix les relacions entre la forma de l'espai (en 3D) i la forma plana (en 2D). El mètode que utilitza la geometria descriptiva per obtenir representacions és el de les projeccions.

Elements de la Projecció

• Centre de les projeccions (propi o impropi)
• Projeccions
• Pla de representació

Sistemes de Representació

Segons la posició relativa del centre de projecció i del pla de representació, s'utilitzen quatre sistemes:

• Sistema dièdric
• Sistema acotat
• Sistema axonomètric
• Sistema cònic o central

Projeccions

La projecció és la unió de cada punt d'un cos amb un centre de projecció mitjançant rectes projectants, fins a arribar a la intersecció d'una superfície plana.

Projecció Central

En aquest tipus de projecció, totes les rectes projectants surten d'un punt fins a intersecar-se amb el pla de projecció π. A cadascun dels punts que es projecten correspondrà un sol punt, la projecció a, b, etc. El punt d'on surten les rectes projectants és un punt propi (no és contingut en l'infinit).

Projecció Cilíndrica Obliqua

El punt d'on parteixen les rectes projectants és infinitament lluny, per tant, aquestes rectes seran paral·leles entre si. L'angle que formen les rectes projectants és oblic. La projecció cilíndrica és un cas particular de la central.

Projecció Cilíndrica Ortogonal

Si la direcció de la projecció és perpendicular al pla, les projeccions que s'obtenen són ortogonals o rectangulars.

Sistema Dièdric Tradicional (SDT)

Fonaments

Sistema de representació que es basa en les projeccions cilíndriques ortogonals.

Elements

Els plans de projecció divideixen l'espai en quatre díedres. La intersecció dels dos plans forma la línia de terra.

• Allunyament: Distància del punt A en l'espai fins al pla vertical.
• Cota: Distància del punt A en l'espai fins al pla horitzontal.
• Bisectors: Plans que divideixen els díedres en dues parts iguals.

Sistema Dièdric Directe (SDD)

En el sistema dièdric directe s'agafen com a plans principals de projecció plans qualssevol que siguin paral·lels als dos plans dels díedres rectangles.

Representació

• Punt: Representat per dues projeccions (a i a').
• Recta: Definida per dos punts.

Tipus de Rectes

• Recta Horitzontal: Paral·lela al pla horitzontal.
• Recta Frontal: Paral·lela al pla vertical.
• Recta Vertical: Perpendicular al pla horitzontal.
• Recta de Punta: Perpendicular al pla vertical.
• Recta Perpendicular al Pla de Perfil: Paral·lela al pla vertical i al pla horitzontal.
• Recta de Perfil: Paral·lela al pla de perfil.

Representació del Pla

Un pla es considera il·limitat i es defineix per elements que hi pertanyen (punts i rectes).

Definició d'un Pla

• Tres punts no alineats.
• Dues rectes que es tallen.
• Dues rectes paral·leles.
• Un punt i una recta que no es pertanyen.

Pertinences

• Punt-Recta: Un punt és contigu en una recta si les seves projeccions són contingudes en les projeccions de la recta.
• Recta-Pla i Punt-Pla: Una recta pertany a un pla si dos punts de la recta pertanyen al pla. Un punt pertany a un pla si pertany a una recta del pla.

Tipus de Plans

• Pla Horitzontal: Paral·lel al pla horitzontal de projecció.
• Pla Frontal: Paral·lel al pla vertical de projecció.
• Pla Projectant Horitzontal: Perpendicular al pla horitzontal.
• Pla de Cantell: Perpendicular al pla vertical.
• Pla de Perfil: Perpendicular al pla vertical i a l'horitzontal.
• Pla Paral·lel a la Línia de Terra: Perpendicular al pla de perfil.

Rectes Notables en un Pla

• Recta Horitzontal: Continguda en el pla i horitzontal.
• Recta Frontal: Continguda en el pla i frontal.
• Recta de Perfil: Continguda en el pla i de perfil.
• Recta de Màxim Pendent: Forma el mateix angle amb el pla horitzontal que el pla que la conté.
• Recta de Màxima Inclinació: Forma el mateix angle amb el pla vertical que el pla que la conté.