Geometria: Conceptes, Fórmules i Classificacions

Geometria i Escales

Els punts són elements geomètrics que descriuen posicions.

Les rectes són línies formades per infinits punts que s'estenen en una direcció.

Els plans són objectes que contenen infinits punts i rectes.

Una semirecta és una porció de recta que té origen però no té final.

Un segment és la part d'una recta que està delimitada per dos punts, anomenats extrems. Per tant, té un principi i un final.

Posicions Relatives

Dues rectes secants es tallen en un sol punt.

Dues rectes paral·leles no es tallen en cap punt.

Dues rectes coincidents comparteixen tots els punts.

Un angle és l'obertura que formen dues semirectes que tenen el mateix origen.

L'escala és la raó de proporcionalitat que hi ha entre les distàncies en un plànol o mapa i les distàncies reals.

E → distància representada : distància real

Fórmules de la Circumferència

• Longitud d'una circumferència → 2 · π · r
• Longitud d'un arc de circumferència → 2·π·r·α : 360
• Àrea del cercle → π · r²
• Àrea d'un sector circular → π·r²·α : 360
• Àrea d'una corona circular → π · (R² – r²)
• Àrea d'un trapezi circular → π·(R²−r²) ·α : 360

Classificació dels Triangles i Quadrilàters

Un triangle és un polígon que té tres costats.

Els triangles es poden classificar segons diferents criteris:

• Segons els costats → equilàter, isòsceles, escalè
• Segons els angles → rectangle (té un angle recte de 90°), acutangle (té els tres angles aguts de menys de 90°), obtusangle (té un angle obtús de més de 90°)

La suma dels angles interiors d'un triangle és 180°.

Rectes i Punts Notables d'un Triangle

• Les mediatrius d'un triangle són les rectes perpendiculars als costats que passen pels seus punts mitjans. Les mediatrius es tallen en un punt que s'anomena circumcentre.
• Les bisectrius d'un triangle són les semirectes que divideixen els angles per la meitat. Les bisectrius es tallen en un punt que s'anomena incentre.
• Les mitjanes d'un triangle són les rectes que passen per un vèrtex i el punt mitjà del costat oposat. Les mitjanes es tallen en un punt que s'anomena baricentre.
• Les altures d'un triangle són les rectes que passen per un vèrtex i són perpendiculars al costat oposat. Les altures es tallen en un punt que s'anomena ortocentre.

Classificació dels Quadrilàters

• Els paral·lelograms són quadrilàters que tenen els costats oposats paral·lels. Poden ser quadrats, rectangles, rombes o romboides.
• Els trapezis són quadrilàters que només tenen dos costats paral·lels. Poden ser trapezis rectangles, trapezis isòsceles o trapezis escalens.
• Els trapezoides són quadrilàters que no tenen costats paral·lels.

La suma dels angles interiors d'un quadrilàter és 360°.

La Circumferència

Una circumferència és una línia corba, tancada i plana els punts de la qual equidisten d'un punt interior que s'anomena centre. Els seus elements són:

• Radi: Segment que uneix el centre amb qualsevol punt de la circumferència.
• Corda: Segment que uneix dos punts qualssevol de la circumferència. La corda que passa pel centre és el diàmetre.
• Arc: Fragment de la circumferència comprès entre dos punts. Si els dos punts són els extrems d'un diàmetre, aquest arc es coneix com a semicircumferència.

Posicions d'un Punt Respecte a una Circumferència

• Punt exterior: El punt és fora de la circumferència. La distància entre el punt i el centre és més gran que el radi.
• Punt de la circumferència: El punt és damunt de la circumferència. La distància entre el punt i el centre és igual que el radi.
• Punt interior: El punt és dins de la circumferència. La distància entre el punt i el centre és més petita que el radi.

Posicions d'una Recta i una Circumferència

• Recta exterior: La recta i la circumferència no tenen punts en comú. La distància entre la recta i el centre és més gran que el radi.
• Recta tangent: La recta i la circumferència tenen un punt en comú. La distància entre la recta i el centre és igual que el radi.
• Recta secant: La recta i la circumferència tenen dos punts en comú. La distància entre la recta i el centre és més petita que el radi.

Posicions de Dues Circumferències Sense Punts en Comú

• Circumferències exteriors: El centre d'una és a l'exterior de l'altra. La distància entre els centres és més gran que la suma dels radis.
• Circumferències interiors no concèntriques: El centre d'una és a l'interior de l'altra. La distància entre els centres és més petita que la diferència dels radis.
• Circumferències interiors concèntriques: Els centres coincideixen. La distància entre els centres és igual a 0.

Posicions de Dues Circumferències amb Punts en Comú

• Circumferències secants: Tenen dos punts en comú. La distància entre els centres és més gran que la diferència dels radis i més petita que la suma.
• Circumferències tangents interiors: Tenen un punt en comú i el centre d'una és a l'interior de l'altra. La distància entre els centres és igual a la diferència dels radis.
• Circumferències tangents exteriors: Tenen un punt en comú i el centre d'una és a l'exterior de l'altra. La distància entre els centres és igual a la suma dels radis.

Un cercle és la regió del pla delimitada per una circumferència.

Un sector circular és la regió del cercle limitada per dos radis. Si els dos radis formen un diàmetre, el sector circular és un semicercle.

Un segment circular és la regió del cercle limitada per una corda.

Una corona circular és la regió del cercle limitada per dues circumferències concèntriques.

Un trapezi circular és la regió d'una corona circular limitada per dos radis.

El nombre π (pi) és un nombre decimal amb xifres decimals infinites i no periòdic. π = 3,14159265358979323846…