Geometría Básica: Axiomas, Teorema de Thales y Semejanza de Triángulos

Geometría

La geometría es una ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las figuras geométricas, de la medida de la extensión de esas figuras, de sus formas y de sus posiciones relativas, y de su representación.

Axiomas

Los axiomas deben ser compatibles, ninguno de ellos debe estar en contradicción con los demás, y deben ser independientes: ninguno de ellos o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás.

Existencia y enlace

• Ax. I,1: Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamamos “espacio”.
• Ax. I,2: Los puntos del espacio se agrupan en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “planos”, y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas”.
• Ax. I,3: Por 2 puntos distintos pasa 1 recta y sólo 1.
• Ax. I,4: Por 3 puntos no alineados pasa 1 plano y sólo 1.
• Ax. I,5: Si 2 puntos de 1 recta están en 1 plano, todos los demás puntos de la recta lo están también.

Ordenación

• Ax. II,1: Existen infinitos puntos situados entre 2 cualesquiera de la recta.
• Ax. II,2: La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso.
• Semirrecta: Conjunto definido por 1 punto de 1 recta y todos los que de ésta le preceden.
• Segmento: Conjunto formado por 2 puntos de 1 recta y todos los situados entre ambos.

Movimientos y congruencia

• Ax. III,1: Los movimientos del plano son transformaciones puntuales: cada punto considerado como de la 1ª posición corresponde a 1 sólo punto de la 2ª, punto que llamamos transformado u homólogo del 1º.
• Ax. III,2: Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y ordenación de puntos.
• Ax. III,3: Ningún movimiento puede transformar 1 segmento o ángulo en 1 parte del mismo.
• Ax. III,4: La transformación resultante de aplicar 2 movimientos sucesivos es otro movimiento. Se llama producto de aquellos 2.
• Ax. III,5: La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento.

Paralelismo

Ax. IV: Por 1 punto exterior a 1 recta pasa 1 sola paralela a ella.

Teorema de Thales

Teorema de Thales: Si 3 o más paralelas son cortadas por 2 secantes m y m’, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre 1 de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra. Existe una constante k tal que: A’B’/AB = k.

• a) La razón entre 2 segmentos de m es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en m’.
• b) Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros 2 o sus prolongaciones segmentos proporcionales.

Semejanza de triángulos

2 triángulos son semejantes si es posible establecer una correspondencia entre sus vértices de manera que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.

Propiedad: Toda paralela a un lado de un triángulo forma con las rectas a que pertenecen los otros 2 un triángulo semejante al primero.

Criterios de semejanza

• (LAL): 2 triángulos son semejantes si es posible encontrar 1 correspondencia entre sus vértices tal que: 1 ángulo del primero sea congruente con el correspondiente en el segundo, y los lados que forman estos ángulos sean proporcionales.
• (AA): 2 triángulos son semejantes si es posible encontrar 1 correspondencia entre sus vértices tal que 2 ángulos del primer triángulo sean congruentes con los ángulos correspondientes en el segundo.
• (LLL): 2 triángulos son semejantes si es posible encontrar 1 correspondencia entre sus vértices tal que los lados del primer triángulo sean proporcionales con los lados correspondientes en el segundo.