Geometria: Àrees, Volums i Desenvolupament Cognitiu

Càlcul d'Àrees i Volums de Figures Geomètriques

Àrea de la Superfície d'un Políedre

L'àrea de la superfície d'un políedre serà la suma de les àrees de les seves cares. Es tallen les cares i es disposen sobre un pla. La figura formada té una àrea que es pot calcular fàcilment.

Desenvolupament Pla i Àrea de Prismes

El desenvolupament pla d'un prisma està compost per un rectangle i els dos polígons que formen les bases. Un dels costats del rectangle coincideix amb el perímetre de la base, i l'altre amb l'altura del prisma. L'àrea lateral és igual al perímetre de la base per l'altura. L'àrea total és la suma de l'àrea lateral i l'àrea de les bases.

Prismes Oblics

Les fórmules utilitzades per a calcular la superfície de prismes rectes són vàlides també per a prismes oblics perquè la seva altura coincideix amb les cares.

Àrea del Cilindre

El seu desenvolupament pla consta d'un rectangle i dos cercles. Per tant, l'àrea és la suma de l'àrea lateral més les dues bases.

Àrea Lateral i Total del Con

El con pot considerar-se per exhaustió com una piràmide regular amb infinites cares laterals. L'àrea lateral d'una piràmide és el producte del perímetre de la base per l'apotema, dividit per 2. De forma semblant, l'àrea lateral del con és el producte de la longitud de la circumferència de la base pel costat o generatriu, dividit per 2.

Conceptes de Volum

Volums del Prisma i Cilindre

Els cossos ocupen un lloc o extensió en l'espai. El volum d'un cos és el nombre que expressa la mesura de la seva extensió en l'espai. La unitat és el m³.

Volum d'un Ortoedre

Per calcular el volum d'una caixa de galetes, la fórmula és V = a · b · c.

Principi de Cavalieri

Si en dos cossos de la mateixa altura les àrees de les seccions produïdes per plans paral·lels a la base són iguals, els cossos tenen el mateix volum.

No va aquí.

Transformacions Geomètriques i Càlcul d'Àrees

Dels Paral·lelograms als Triangles

Podem explorar les àrees de triangles dibuixats sobre quadrícules o geoplans, de la mateixa manera que amb els paral·lelograms.

Dels Paral·lelograms als Trapezis

Es poden fer dues còpies iguals d'un trapezi i compondre'ls de manera que s'obté un paral·lelogram.

Desenvolupament Cognitiu i Aprenentatge de la Geometria

Conservació de l'Àrea

El principi de conservació és la invariància d'una certa qualitat en un determinat objecte, quan es realitzen determinades transformacions sobre aquest objecte. La superfície no canvia encara que tallis el paper; la justificació és que junts tornen a tenir el foli inicial.

Etapes de la Conservació de l'Àrea segons Piaget

• 1r estadi (5 anys): Els infants no han desenvolupat aquesta capacitat de trencar un foli i pensen que n'hi ha més.
• 2n estadi (5-6 anys): Hi ha reportes diverses.
• Cap als set anys: És quan els xiquets perceben l'equivalència i, per tant, el principi de conservació de la superfície.

Pot facilitar l'adquisició de la conservació d'una o altra magnitud: establir una forta relació, a vegades quasi de tipus biunívoc, entre àrea i perímetre, en el sentit que si una canvia l'altra també ho fa necessàriament, en el mateix sentit i en la mateixa proporció.

És fonamental per a calcular l'àrea de figures irregulars. És el moment en què té sentit per al xiquet l'equivalència de les superfícies sotmeses a certes transformacions. Poden descompondre's i recompondre's de diferents maneres les distintes figures geomètriques tant per a treballar i desenvolupar el concepte de mesura com per a l'obtenció de les fórmules de l'àrea de les distintes figures, i és fonamental per a calcular l'àrea de figures irregulars.

Fórmules per a les Àrees de Polígons

Les fórmules han de sorgir de situacions didàctiques en què els alumnes tinguin oportunitat de resoldre problemes matemàtics. A més, cal establir relacions entre distints continguts, és a dir, connexions entre les distintes expressions que permeten calcular les àrees dels polígons.

Càlcul d'Àrees de Rectangles

Usant el geoplà o fulls de paper amb retícules quadrangulars, els alumnes poden descobrir ràpidament que el nombre de quadrats que recobreixen un rectangle es pot determinar d'una manera abreujada: multiplicant les longituds de la base per l'altura. Després del treball amb les quadrícules o el geoplà, serà recomanable proposar el càlcul d'àrees de rectangles amb dimensions senceres sense usar la quadrícula.

1. Designar un costat com la base i disposar sobre aquesta base unitats quadrades al llarg d'aquest costat.
2. Proposar als alumnes rectangles indicant només les dimensions.
3. Proposar finalment rectangles amb dimensions no senceres.

Dels Rectangles als Paral·lelograms

Proporcionar un rectangle dibuixat sobre una quadrícula o sobre un full blanc. La seva tasca serà trobar una expressió que permeti calcular l'àrea de qualsevol paral·lelogram, no sols la del rectangle donat. Cal demanar que investiguin maneres per les quals un paral·lelogram es pot transformar en un rectangle, sense que variï la seva àrea, per la qual cosa la fórmula és la mateixa que la del triangle.