Geometria Analítica: Posicions Relatives, Angles i Distàncies en l'Espai

Posició Relativa de Tres Plans

Es fa sempre amb tres equacions de plans, en la seva forma general:

π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

π₃: A₃x + B₃y + C₃z + D₃ = 0

Plans que es Tallen en un Punt (SCD)

Rang(M) = Rang(M*) = 3. Hi ha excepcions que es detallen a continuació.

Plans amb Solució Compatible Indeterminada (SCI)

Casos de SCI amb Rang 3

Es tallen dos a dos. Dos plans paral·lels tallen el tercer.

Casos de SCI amb Rang 2

Plans Incompatibles (SI)

Rang(M) = 1, Rang(M*) = 2

Tres plans paral·lels. Dos plans coincidents i paral·lels al tercer.

Plans Coincidents (SCI amb Rang 1)

Rang(M) = Rang(M*) = 1

Tres plans coincidents.

Posicions Relatives de Dues Rectes

Hi ha dos casos principals:

• V_r i V_s són proporcionals: — = — = —
  • Rang(A) = 1: rectes coincidents
  • Rang(A) = 2: rectes paral·leles
• V_r i V_s no són proporcionals:
  • Rang(A) = 2: rectes secants (es busca el punt de tall)
  • Rang(A) = 3: rectes que es creuen

Per calcular el rang, cal trobar dos punts amb les equacions que ens donen, per exemple:

Recta 1:
|x = −7 + 4λ
|y = 1 − λ
|z = 2

Recta 2:
x + 1 / 2 = y + 3 / -3 = z - 4 / 2

Punt de la Recta 1: P = (-7, 1, 2)
Punt de la Recta 2: Q = (-1, -3, 4)
Vector PQ = Q - P = (6, -4, 2)

Comprovar si V_r i V_s són proporcionals: 4/2 ≠ -1/-3 ≠ 0/2. Per tant, no ho són.

Calculem el Rang amb els dos vectors (V_r i V_s) i amb el vector PQ per comprovar el tipus de posició relativa.

Càlcul del Punt de Tall

Per trobar el punt de tall, utilitzem les dues equacions de les rectes esmentades anteriorment.

Sabem que X, Y, Z tenen uns valors, però cal trobar el valor de lambda (λ).

x + 1 / 2 = y + 3 / -3 → -3x - 2y - 9 = 0

y + 3 / -3 = z - 4 / 2 → 2y + 3z - 12 = 0

Ara substituïm X, Y, Z respectivament pels seus valors de l'altra equació i trobem λ. En aquest cas, λ = 1.

Un cop sabem λ, el substituïm en l'equació de X, Y, Z i trobem el punt de tall: (-3, 0, 2).

Pla que Conté Dues Rectes

Si es demana un pla que contingui les dues rectes, utilitzem el punt de tall trobat i els vectors directors V_s i V_r per crear l'equació paramètrica del pla.

|x = −3 + 4λ + 2μ

|y = −λ − 3μ

|z = 2 + 2μ

I si es demana amb paràmetres, per exemple, si m = 3, és un Sistema Compatible Determinat (SCD), si no... etc.

Angles

El vector normal d'un pla n = (A, B, C) es deriva de la seva equació general Ax + By + Cz + D = 0.

Angle entre Dues Rectes (R i S)

Després, es calcula l'arccosinus de K.

Angle entre Recta i Pla

Després, es calcula l'arcsinus de L.

Angle entre Dos Plans

Després, es calcula l'arccosinus de M.

Projeccions Ortogonals

Un punt que es troba fora d'una recta o un pla té una projecció ortogonal sobre la recta o el pla en qüestió.

Projecció d'un Punt sobre un Pla

Exemple: Punt P = (1, -2, 0) i Pla π = 2x - y - 2z + 1 = 0.

Punts Simètrics

Punt Simètric respecte a un Punt

Donats dos punts P i Q, i es vol trobar P'. La fórmula per a cada coordenada és: Q₁ = (P₁ + P'₁) / 2.

Punt Simètric respecte a una Recta

Es calcula la projecció del punt P sobre la recta (com s'ha explicat anteriorment) i després s'aplica la fórmula del punt simètric respecte a un punt.

Punt Simètric respecte a un Pla

Es calcula la projecció d'un punt sobre un pla (com s'ha explicat anteriorment, apartat B) i després s'aplica la fórmula del punt simètric respecte a un punt.

Distàncies

Distància entre Dos Punts

Distància d'un Punt a un Pla

Distància d'un Punt P a una Recta R

Distància entre Dos Plans

Exemple:

Distància d'un Punt a una Recta (Mètode Alternatiu)