Geometría Analítica en el Espacio y Cálculo Integral: Posiciones Relativas, Ángulos y Distancias

Posición Relativa entre Recta y Plano

Forma 1: Estudio mediante Matrices y Rangos

Para determinar la posición, se debe construir la matriz (M) y la matriz ampliada (M').

• Si los dos rangos son iguales a 3 (Rango(M) = Rango(M') = 3): Se trata de un SCD (Sistema Compatible Determinado); la recta y el plano se cortan en un punto único, siendo la recta secante al plano.
• Si los dos rangos son iguales a 2 (Rango(M) = Rango(M') = 2): Se trata de un SCI (Sistema Compatible Indeterminado); la recta está contenida en el plano.
• Si el Rango(M) = 2 y el de la ampliada (M') = 3: Se trata de un Sistema Incompatible; la recta y el plano no se cortan, por lo tanto, la recta es paralela al plano.

Forma 2: Uso de Vectores y Puntos

Consiste en obtener el punto de la recta P_r (términos sin parámetro), el vector director V_r (coeficientes del parámetro) y el vector normal del plano n (coeficientes x, y, z del plano).

• Si el producto escalar V_r · n ≠ 0: La recta es secante (se cortan).
• Si el producto escalar V_r · n = 0: Se sustituye el punto P_r en las variables x, y, z de la ecuación del plano.
  • Si la igualdad se cumple: La recta pertenece al plano y está contenida en el plano.
  • Si no se cumple: El punto es exterior y la recta es paralela (el texto original menciona secante respecto al punto, pero se refiere a la falta de pertenencia).

Nota: Para sacar el punto de corte si es secante, se deben sustituir los parámetros de la recta en la ecuación del plano.

Posición Relativa de Dos Planos

Se realiza mediante el estudio de la matriz y la matriz ampliada:

• Si Rango(M) = Rango(M') = 2: Es un SCI; la intersección de los planos es una recta y son planos secantes.
• Si Rango(M) = Rango(M') = 1: La intersección es todo el plano (SCI); los planos son coincidentes.
• Si Rango(M) = 1 y Rango(M') = 2: Es un Sistema Incompatible; los dos planos no tienen puntos en común, por lo que son paralelos.

Posición Relativa de Dos Rectas

Forma 1: Vectores Directores y Puntos

Se obtienen los vectores directores de ambas rectas (en forma continua, son los números del denominador) y un punto de cada recta (ejemplo: en x-1, y+2, z+2 el punto es +1, -2, -2, ya que se cambia el signo). Luego se halla el vector AB (que une ambos puntos) y se construye una matriz con los dos vectores directores y el vector AB.

• Si los dos vectores directores son proporcionales:
  • Rango 1: Rectas coincidentes.
  • Rango 2: Rectas paralelas (no tienen puntos comunes pero están en el mismo plano).
• Si los dos vectores directores NO son proporcionales:
  • Rango 3: Las rectas se cruzan en el espacio.
  • Rango 2: Las rectas son secantes (se cortan en un punto).

Forma 2: Estudio por Matrices

• Si ambos rangos son 2: Son coincidentes.
• Si ambos rangos son 3: Son secantes.
• Si Rango(M) = 2 y Rango(M') = 3: Son paralelas.
• Si Rango(M) = 3 y Rango(M') = 4: Las rectas se cruzan.

Perpendicularidad entre Recta y Plano

1. Se extrae el vector director de la recta (valores del denominador), por ejemplo: (2, -3, 1).
2. Se plantea la ecuación del plano con esos coeficientes: 2x - 3y + z + D = 0.
3. Se sustituye el punto dado en las incógnitas x, y, z.
4. Se despeja D y se escribe la ecuación final con el valor de D hallado.

Cálculo de Integrales

Integración por Partes

Regla mnemotécnica: "Una Vaca sin cola Vestida De Uniforme" (∫u dv = uv - ∫v du).

Para elegir la u, se sigue el orden ILATE:

• I: Inversa (sen⁻¹)
• L: Logarítmica (Ln)
• A: Algebraica (3x, x³)
• T: Trigonométrica (sen, cos)
• E: Exponencial (eˣ)

Ángulos en el Espacio

Ángulo entre Dos Rectas

Se halla el vector director de cada recta. Se calcula su producto escalar y sus módulos. Se aplica la fórmula:

Cos(α) = |u · v| / (|u| · |v|)

El ángulo es igual al arccos del resultado anterior.

Ángulo entre una Recta y un Plano

Se halla el vector director de la recta y el vector normal del plano (coeficientes de x, y, z). Se multiplican los vectores y se obtienen sus módulos. Se aplica:

Sen(α) = |u · n| / (|u| · |n|) (O bien, el ángulo es 90° - arccos del resultado de la fórmula del coseno).

¡No olvidar usar la tecla de grados en la calculadora!

Cálculo de Distancias

Distancia de un Punto a un Plano

Fórmula: |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A² + B² + C²).

Distancia entre Dos Puntos

Dados el Punto A y el Punto B, se calcula el vector AB. La distancia d(A, B) es el módulo del vector AB.

Distancia entre Recta y Plano

1. Se determina la posición relativa.
2. Si son paralelos, se toma un punto P de la recta y se halla la distancia de ese punto al plano con la fórmula: |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²).

Distancia entre Dos Planos

Se halla la posición relativa. Si son paralelos, se extrae un punto P de uno de los planos y se calcula la distancia al otro plano usando la misma fórmula anterior.

Distancia de un Punto a una Recta

Se halla el vector director v (usando i, j, k si la recta viene dada por dos planos). Se toma un punto genérico de la recta (ej. si x=1, A(1,1,1)). Se calcula el vector entre el punto de la recta A y el punto dado P (vector AP). Se realiza el producto vectorial entre el vector director v y AP. La distancia es:

d = |v × AP| / |v| (Módulo del producto vectorial dividido por el módulo del vector director).

Puntos de Corte y Planos Especiales

Puntos de Corte (Secantes)

Se sustituyen las incógnitas de la recta (en paramétricas) en el plano y se despeja el parámetro (lambda).

Plano que Contiene a Dos Rectas

Tras hallar el punto de corte, se utiliza un punto (x₀, y₀, z₀) y se plantea el determinante con (x - x₀), (y - y₀), (z - z₀) y los dos vectores directores de las rectas. El resultado de la matriz igualada a 0 nos da la ecuación del plano.