Geometría Analítica Espacial: Conceptos Fundamentales de Vectores, Rectas y Planos

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Vectores y Puntos Alineados

• Vectores Linealmente Dependientes e Independientes: Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se denominan linealmente independientes.

• Puntos Alineados: Tres o más puntos están alineados si los vectores que se forman entre ellos, por ejemplo, →AB y →BC, son paralelos (es decir, proporcionales).

Posiciones Relativas en el Espacio

Posiciones Relativas entre Rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, cortarse en un punto o cruzarse. Para estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, r y s, se utilizan los rangos de la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M'):

• Si ran(M) = ran(M') = 1 ⇒ las rectas r y s coinciden.
• Si ran(M) = 1 ≠ ran(M') = 2 ⇒ las rectas r y s son paralelas.
• Si ran(M) = ran(M') = 2 ⇒ las rectas r y s se cortan en un punto.
• Si ran(M) = 2 ≠ ran(M') = 3 ⇒ las rectas r y s se cruzan.

Posiciones Relativas entre Planos

Dos planos en el espacio pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse en una recta. Para distinguir cada caso, se consideran los rangos de las matrices (M y M'):

• Si ran(M) = ran(M') = 1 ⇒ los planos π1 y π2 son coincidentes.
• Si ran(M) = 1 ≠ ran(M') = 2 ⇒ los planos π1 y π2 son paralelos.
• Si ran(M) = ran(M') = 2 ⇒ los planos π1 y π2 se cortan en una recta.

Posiciones Relativas de Tres Planos

El estudio de la posición relativa de tres planos se basa en el rango de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A') del sistema de ecuaciones que los define:

• Si ran(A) = ran(A') = número de incógnitas (Sistema Compatible Determinado - SCD): Los tres planos se cortan en un único punto.
• Si ran(A) = 2 y ran(A') = 3 (Sistema Incompatible - SI): Los planos pueden cortarse dos a dos formando tres rectas paralelas, o dos planos pueden ser paralelos y el tercero los corta.
• Si ran(A) = ran(A') = 2 (Sistema Compatible Indeterminado - SCI): Los tres planos se cortan en una recta secante, o dos planos son coincidentes y el tercero los corta.
• Si ran(A) = 1 y ran(A') = 2 (Sistema Incompatible - SI): Todos los planos son paralelos entre sí.
• Si ran(A) = ran(A') = 1 (Sistema Compatible Indeterminado - SCI): Los tres planos son coincidentes.

Posiciones Relativas entre Recta y Plano

En el espacio, una recta r puede estar contenida en un plano π, puede ser paralela a ese plano o puede cortarlo en un punto.

La recta r está contenida en el plano π

En este caso, se deben cumplir dos condiciones:

1. El vector director de la recta (d_r) y el vector normal del plano (n_π) son perpendiculares: d_r ⋅ n_π = 0.
2. Un punto cualquiera, P, de la recta r también pertenece al plano π.

La recta r es paralela al plano π

En este caso, se deben cumplir dos condiciones:

1. El vector director de la recta (d_r) y el vector normal del plano (n_π) son perpendiculares: d_r ⋅ n_π = 0.
2. Un punto cualquiera, P, de la recta r no pertenece al plano π.

La recta r corta al plano π en un punto P

En este caso, el vector director de la recta y el vector normal al plano forman un ángulo distinto de 90º. Podemos calcular el punto de corte estableciendo un sistema de ecuaciones entre las ecuaciones de la recta y las del plano.

Cálculo de Distancias en Geometría Analítica

Distancia entre Puntos

La distancia entre dos puntos se calcula mediante la fórmula:

Distancia de un Punto P a una Recta r

Si Q es un punto de la recta r, la distancia entre P y r coincide con la altura del paralelogramo determinado por los vectores →QP y d_r (vector director de la recta r). Es decir, con el resultado de dividir el área del paralelogramo entre la longitud de su base.

Distancia de un Punto P a un Plano π

La distancia de un punto P a un plano π se calcula mediante la fórmula:

Distancia entre Dos Rectas r y s

Se distinguen dos casos:

• Si las rectas son paralelas: Se toma un punto P_r de la recta r y se calcula la distancia de ese punto a la recta s: dist(r, s) = dist(P_r, s).
• Si las rectas se cruzan: La distancia entre ellas coincide con la altura del paralelepípedo determinado por los vectores d_r, d_s y →PQ (donde P es un punto de r y Q es un punto de s). Es decir, con el resultado de dividir el volumen del paralelepípedo entre el área de su base.

Distancia de una Recta r a un Plano π

• Si la recta r corta al plano π, la distancia entre ellos es cero.
• Si la recta r es paralela al plano π (o está contenida en él), la distancia se calcula tomando un punto P_r de la recta y hallando su distancia al plano: dist(r, π) = dist(P_r, π).

Distancia entre Dos Planos π1 y π2

• Si los planos π1 y π2 se cortan, la distancia entre ellos es cero.
• Si no se cortan, es porque son paralelos o coincidentes. En este caso, la distancia se calcula tomando un punto de uno de los planos y hallando su distancia al otro plano.

Lugares Geométricos Fundamentales

Plano Mediador

El lugar geométrico de los puntos X(x, y, z) que equidistan de los extremos de un segmento AB se llama plano mediador. Su ecuación se calcula imponiendo la condición que lo define: dist(X, A) = dist(X, B).

Planos Bisectores

El lugar geométrico de los puntos X(x, y, z) que equidistan de dos planos π1 y π2 son otros dos planos σ1 y σ2, llamados planos bisectores, que son perpendiculares entre sí. Sus ecuaciones se calculan imponiendo la condición: dist(X, π1) = dist(X, π2).