Funtzioen Analisia eta Optimizazioa: Teoremak eta Aplikazioak

Lagrange-ren Teorema

Funtzio bat baldin bada:

1. Jarraitua [a,b] tartean: f(1) = lim f(x)
2. Deribagarria (a,b) tartean: f´(1-) = f´(1+)

Orduan, existitzen da c ∈ (a,b) puntu bat (edo gehiago) non f´(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) betetzen den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea sekantearen paraleloa den.

Rolle-ren Teorema

Aurreko baldintzez gain, f(a) = f(b) betetzen bada, orduan existitzen da c ∈ (a,b) non f´(c) = 0 den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea abzisa-ardatzarekiko paraleloa den.

Parametroak

• P(a,b) puntua: f(a) = b
• Minimoa edo maximoa x = 3 puntuan: f´(3) = 0
• Inflexio-puntua x = 3 puntuan: f´´(3) = 0
• Muturra x = 10, y = 8 puntuan: f(10) = 8 eta f´(10) = 0
• Ukitzailea x = 5 puntuan: f´(5) = m

Adierazpen Grafikoa

• Izate-eremua (IE)
• Ardatzekiko ebakitze-puntuak: x = 0, y = 0
• Asintotak:
  • Bertikala: lim_x→1 f(x) = ±∞
  • Horizontala: lim_x→±∞ f(x) = k
• Monotonia eta muturrak: IE barruan, f´(x) = 0

Zuzen Ukitzailea

y - y₀(f(1)) = m(f´(1))(x - x₀(1))

Kurbatura eta Inflexio-puntuak

f´´(x₀) = 0

• > ahurra
• < ganbila

Optimizazioa

• Karratua: A = 2x² + 4xy; B = x²y
• Kaxa: A = 2ab + 2ac + 2bc; B = abc
• Zilindroa: A = 2πr² + 2πrh; B = πr²h

Indeterminazioak

• 0/0 edo ∞/∞ (normala)
• 1^∞, ∞⁰ edo 0⁰ (ln aplikatu → ln(Aⁿ) = n·ln(A))
• 0·∞: f·g motakoa bada, bihurtu f/(1/g) edo g/(1/f)

Gogoratu:

• ln(y) = x → y = e^x
• 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
• 1/tan(x) = cot(x)
• sin(x)/cos(x) = tan(x)
• 1/sin(x) = csc(x)
• 1/cos(x) = sec(x)
• ∞/K = ∞
• K/∞ = 0
• 0/K = 0
• K/0 = ∞
• 0/∞ = 0
• ∞/0 = ∞
• 0^∞ = 0
• ∞^K =
  • 0 (K < 0 bada)
  • ∞ (K > 0 bada)