Funtzioen Analisia eta Aplikazioak

1. Funtzio Kuaratikoaren Azterketa

Funtzioa emanda dago: y = x⁴ + p⋅x + q

Esan digute x = 1 puntuan minimo erlatiboa duela, eta kurbak (1, 2) puntutik pasatzen dela.

1(a) p eta q Parametroak Aurkitzea

1. baldintza: (1, 2) puntutik igarotzea

Puntua funtzioan ordezkatuz:

2 = (1)⁴ + p(1) + q
2 = 1 + p + q
p + q = 1

2. baldintza: Minimoa izatea (f'(x) = 0 izan behar du x = 1ean)

Deribatuz: y' = 4x³ + p

Minimoa x = 1ean dagoenez, f'(1) = 0 izan behar du:

4(1)³ + p = 0
4 + p = 0
p = −4

3. p-ren balioa ordezkatu q aurkitzeko:

−4 + q = 1
q = 5

Emaitza: p = −4, q = 5.

1(b) Muturrak eta Inflexio-puntua

Dugun funtzioa: y = x⁴ − 4x + 5

Lehenengo deribatua: y' = 4x³ − 4

Ebazten dugu y' = 0 mutur-puntuak aurkitzeko:

4x³ − 4 = 0
4x³ = 4
x³ = 1
x = 1

Honek bat dator aurretik aurkitutako minimoarekin.

Bigarren deribatua inflexio-puntua aurkitzeko: y'' = 12x²

Ebazten dugu y'' = 0 inflexio-puntua aurkitzeko:

12x² = 0
x = 0

y''(x) = 12x² beti positiboa da x ≠ 0 denean, beraz x = 1 benetan minimoa da.

Emaitza:

• Minimo bakarra dago x = 1ean.
• Inflexio-puntua x = 0n dago.

1(c) Grafikoa eta Ebaki-puntuak

OX ardatzarekiko ebakidurak aurkitzeko, y = 0 ebazten dugu:

x⁴ − 4x + 5 = 0

Honek ez du erro errealik (polinomioa beti positiboa da), beraz ez du ebakidurarik OX ardatzarekin.

OY ardatzarekiko ebakidura x = 0 denean:

y(0) = 0⁴ − 4(0) + 5 = 5

Beraz, OY ardatzarekiko ebakidura puntua: (0, 5).

2. Futbol Klubaren Bazkide Kopurua

Bazkide kopurua denboraren arabera (x hilabetetan) adierazten duen funtzioa:

y = x³ − 72x² + 1296x + 1000

2(a) Bazkide Kopurua Une Ezberdinetan

• Kluba sortu zen unean (x=0): y(0) = 0³ − 72(0)² + 1296(0) + 1000 = 1000 bazkide
• Urte erdi igarotzean (x=6): y(6) = 6³ − 72(6)² + 1296(6) + 1000 = 216 − 72(36) + 7776 + 1000 = 216 − 2592 + 7776 + 1000 = 6400 bazkide
• Urte bat igarotzean (x=12): y(12) = 12³ − 72(12)² + 1296(12) + 1000 = 1728 − 72(144) + 15552 + 1000 = 1728 − 10368 + 15552 + 1000 = 7912 bazkide
• 60 hilabete igarotzean (x=60): y(60) = 60³ − 72(60)² + 1296(60) + 1000 = 216000 − 72(3600) + 77760 + 1000 = 216000 − 259200 + 77760 + 1000 = 35560 bazkide

2(b) Maximo eta Minimo Erlatiboak

Funtzioaren deribatuak ebatzita:

• Puntu kritikoak: x = 12 eta x = 36.
• Bigarren deribatuaren balioak:
  • y''(12) < 0 → x = 12 maximoa da.
  • y''(36) > 0 → x = 36 minimoa da.

Beraz:

• Maximoa dago 12. hilabetean: y(12) = 7912 bazkide.
• Minimoa dago 36. hilabetean: y(36) = 36³ − 72(36)² + 1296(36) + 1000 = 46656 − 93312 + 46656 + 1000 = 1000 bazkide.

Grafikoa

Puntu garrantzitsuak grafikorako:

• Hasierako puntua: (0, 1000)
• Maximoa: (12, 7912)
• Minimoa: (36, 1000)
• Azken puntua (60 hilabetetan): (60, 35560)

3. Gimnasioaren Balantzea

3(a) Hilabeteko Balantzea f(x) Adieraztea

Balantzea = Diru-sarrerak − Gastuak

• Diru-sarrerak: Bazkide bakoitzak 100€ ordaintzen du, eta bazkide kopurua A(x) = −x² + 28x da.

  Diru-sarrerak = 100 ⋅ A(x) = 100(−x² + 28x) = −100x² + 2800x

• Gastuak: Iragarki bakoitza 300€ kostatzen da, eta guztira x iragarki daude. Beste gastuak 12.000€ dira.

  Gastuak = 300x + 12000

• Balantzea:

  f(x) = (Diru-sarrerak) − (Gastuak)
  f(x) = (−100x² + 2800x) − (300x + 12000)
  f(x) = −100x² + 2800x − 300x − 12000
  f(x) = −100x² + 2500x − 12000

3(b) Irabazi Maximoa Aurkitzea

Irabazi maximoa aurkitzeko, f'(x) = 0 ebazten dugu:

f'(x) = −200x + 2500

−200x + 2500 = 0
200x = 2500
x = 12.5

x iragarki kopurua zenbaki osoa izan behar denez, x = 12 edo x = 13 probatu behar dugu.

• f(12) = −100(12)² + 2500(12) − 12000 = −14400 + 30000 − 12000 = 3600 €
• f(13) = −100(13)² + 2500(13) − 12000 = −16900 + 32500 − 12000 = 3600 €

Irabazi maximoa 3600 € da, 12 edo 13 iragarkirekin lortzen dena.

4. Funtzio Kubikoaren Analisia

Izan bedi funtzio orokorra: f(x) = x³ + ax² + bx + c

4(a) a, b, c Parametroak Bilatzea

Datuak:

• f(0) = 0 → 0³ + a(0)² + b(0) + c = 0 → c = 0
• f(2) = −4 → 2³ + a(2)² + b(2) + c = −4 → 8 + 4a + 2b + 0 = −4 → 4a + 2b = −12 → 2a + b = −6
• f'(2) = 0 (mutur erlatiboa) → lehenengo deribatua kalkulatu eta x = 2an 0 bihurtu.

f'(x) = 3x² + 2ax + b

f'(2) = 3(2)² + 2a(2) + b = 0
12 + 4a + b = 0
4a + b = −12

Orain ekuazio sistema ebazten dugu:

2a + b = −6
4a + b = −12

Bigarren ekuaziotik lehena kenduz: (4a + b) - (2a + b) = -12 - (-6) → 2a = -6 → a = −3

a-ren balioa lehenengo ekuazioan ordezkatuz: 2(−3) + b = −6 → −6 + b = −6 → b = 0

Beraz, parametroak hauek dira: a = −3, b = 0, c = 0.

Funtzioa hau da: f(x) = x³ − 3x².

4(b) Maximoak, Minimoak eta Inflexio-puntuak

Lehenengo deribatua: f'(x) = 3x² − 6x.

Mutur erlatiboak aurkitzeko, f'(x) = 0 ebazten dugu:

3x² − 6x = 0
3x(x − 2) = 0

Soluzioak: x = 0 eta x = 2 (mutur erlatiboak).

Bigarren deribatua: f''(x) = 6x − 6.

Muturrak aztertzen:

• f''(0) = 6(0) − 6 = −6 (Negatiboa, beraz Maximoa x = 0n)
• f''(2) = 6(2) − 6 = 12 − 6 = 6 (Positiboa, beraz Minimoa x = 2an)

Beraz:

• x = 0 puntuan maximoa dago.
• x = 2 puntuan minimoa dago.

Inflexio-puntua f''(x) = 0 ebatziz:

6x − 6 = 0
6x = 6
x = 1

Beraz, x = 1 inflexio-puntua da.

4(c) Grafikoa eta Ebaki-puntuak

Ebaki-puntuak aurkitzeko, f(x) = 0 ebazten dugu:

x³ − 3x² = 0
x²(x − 3) = 0

Soluzioak: x = 0 eta x = 3.

Puntu garrantzitsuak grafikorako:

• Maximoa: f(0) = 0³ − 3(0)² = 0 → (0, 0)
• Minimoa: f(2) = 2³ − 3(2)² = 8 − 3(4) = 8 − 12 = −4 → (2, −4)
• Inflexio-puntua: f(1) = 1³ − 3(1)² = 1 − 3 = −2 → (1, −2)
• Ebaki-puntuak OX ardatzarekin: (0, 0) eta (3, 0)