Funtzio matematikoak: Oinarriak eta motak

Funtzioaren Oinarriak

Funtzioa: Kontzeptu matematiko bat da, bi aldagai erlazionatzen dituena. Abiaburu eta helburu multzo bat izango ditu, eta abiaburu multzoko elementu bakoitzari helburu multzoko elementu bakarra dagokio.

Funtzio bat izateko baldintzak:

• Elementuak zenbaki errealak izan behar dira.
• Abiaburu multzoko elementu bakoitzari helburu multzoko elementu bakarra dagokio.

Grafikoak eta Ezaugarriak

Grafikoak: Funtzioak irudikatzeko erabiltzen dira, eta aldagaiak ardatz kartesiarretan kokatzen dira.

• X ardatza: Ardatz horizontala da, absisa deiturikoa. Bertan abiaburu multzoko datuak adierazten dira.
• Y ardatza: Ardatz bertikala da, ordenatua deiturikoa. Helburu multzoko datuak adierazten dira.
• (0,0): Koordenatu-jatorria.
• Aldagai askea: Edozein balio har dezakeen balioa da, eta x ardatzean adierazten da.
• Menpeko aldagaia: Aldagai askearen arabera aldatzen den balioa da, eta y ardatzean adierazten da.
• Izate-eremua, eremua edo dominioa: D(x) idazten da. x aldagaiak har dezakeen balio multzoa da.
• Ibilbidea edo irudia: R(x) idazten da. y aldagaiak har dezakeen balio multzoa da.
• Tartea: Zenbakien multzo bat adierazteko erabiltzen da, hau da, balio hauen nondik-norakoa zehazteko.
• Parentesiak: Parentesiak ukitzen dituzten zenbakiak ez dira tartean sartzen.
• Kortxeteak: Kortxeteak ukitzen dituzten zenbakiak tartean sartzen dira.

Grafiko Motak

• Zuzena: Adierazpen grafikoa zuzena bada, lehen mailako funtzio polinomikoa izango da (aldagai askearen berretzailea 1 da).
• Parabola: Adierazpen grafikoa parabola bada, bigarren mailako funtzio polinomikoa izango da (aldagai askearen berretzailea 2 da).
• Konstantea: x aldagai askearen edozein baliorentzat y aldagaia konstante mantentzen denean.

Funtzioen Norabideak

• Gorakorra: Aldagai askea handitu ahala menpeko aldagaia ere handitzen denean.
• Beherakorra: Aldagai askea handitu ahala menpeko aldagaia txikitzen denean.
• Minimoa: Funtzio bat beherakorra izatetik gorakorra izatera pasatzen den puntua.
• Maximoa: Funtzio bat gorakorra izatetik beherakorra izatera pasatzen den puntua.

Beste Ezaugarri Batzuk

• Jarraia: Adierazpen grafikoa marra edo trazo bakar batean marraz daitekeenean.
• Etena: Adierazpen grafikoa marra edo trazo bakar batean marrazterik ez dagoenean.
• Simetria: Ardatz batekiko bi aldeak simetrikoak direnean.
• Periodikoa: Maiztasun jakin batez errepikatzen den funtzioa.
• Ordenatu-jatorria: Y ardatza ebakitzen duen puntua da, eta 'b' letrarekin adierazten da.
• Malda: Zuzenaren inklinazioa adierazten du. Bi punturen arteko y-en eta x-en arteko zatidura da. Gorakorra bada, malda positiboa da.

Funtzio Motak

• Irrazionalak: Funtzioaren formulan x erro baten barruan dagoenean. Adibidez: y = √(x² - 16). Dominioa: D(x) = (-∞, -4] ∪ [4, +∞).
• Zatikiarra edo Arrazionala: Funtzioaren formulan aldagai askea izendatzailean ageri denean. Adibidez: y = 1 / (x + 4). Dominioa: D(x) = ℜ \ {-4}.
• Polinomikoa: Funtzioaren formulan adierazitako eragiketak zenbaki erreal guztiekin egin daitezke. Dominioa: D(x) = ℜ.

Lehen Mailako Funtzioak (Zuzenak)

• Adierazpen grafikoa zuzena da.
• Bi puntu nahikoak dira zuzen hau marrazteko.
• Izate-eremua ℜ da.
• Ibilbidea ℜ da.
• Jatorritik pasatzen badira (y=ax), funtzio proportzionalak dira (ez dute gai askerik).
• y=ax+b denean, funtzio afina da.
• y=b denean, funtzio konstante horizontala da (malda 0).

Zuzenen arteko Erlazioak

• Zuzen Perpendikularrak edo Elkartzutak: Maldak alderantzizkoaren aurkakoak dira (m&sub1; * m&sub2; = -1). Ordenatu-jatorri desberdina izan dezakete. Ebakitze-puntua bi ekuazioen sistema ebatziz aurkitzen da. Adibidez: y = 2x + 3 eta y = (-1/2)x + 5.
• Zuzen Paraleloak: Maldak berdinak direnean.

Zuzenaren Ekuazioa Lortzea

Zuzenaren Ekuazioa Bi Puntu Ezagututa

1. Malda kalkulatu.
2. Bi puntuetako bat hartu eta ekuazio orokorrean (y - y&sub1; = m(x - x&sub1;)) ordezkatu ekuazioa lortzeko.

Zuzen bat Adierazteko Beharrezko Datuak

• Bi puntu.
• Puntu bat eta malda.

Ekuazio Sistemak

Ekuazio Sistemak: Ezezagun komunak dituzten bi ekuazio edo gehiagoren multzoa.

Ekuazioa Ebaztea: Ezezagunaren balioa aurkitzea.

Ekuazio Sistemak Ebazteko Metodoak

1. Ordezkapen Metodoa

1. Ekuazio batean ezezagun bat bakandu.
2. Bakandutako ezezagunaren balioa beste ekuazioan ordezkatu.
3. Lortutako ekuazioa ebatzi ezezagun bat lortzeko.
4. Lortutako balioa hasierako ekuazioetako batean ordezkatu beste ezezaguna kalkulatzeko.
5. Emaitzak egiaztatu.

2. Berdintze Metodoa

1. Bi ekuazioetan ezezagun bera bakandu.
2. Lortutako adierazpenak berdindu.
3. Lortutako ekuazioa ebatzi.
4. Lortutako balioa hasierako ekuazioetako batean ordezkatu beste ezezaguna kalkulatzeko.
5. Emaitzak egiaztatu.

3. Laburtze Metodoa

1. Ekuazioak zenbaki egokiez biderkatu, ezezagunetako baten koefizienteak aurkakoak izan daitezen.
2. Lortutako ekuazioak batu.
3. Lortutako ekuazioa ebatzi.
4. Lortutako balioa hasierako ekuazioetako batean ordezkatu beste ezezaguna kalkulatzeko.
5. Emaitzak egiaztatu.