Fundamentos de Vectores Propios y Diagonalización de Matrices

Base o sistema de referencia de Rn Es un conjunto de n vectores de Rn linealmente Independientes.; Propiedad: Cualquier vector de Rn Se puede escribir como combinación lineal de los vectores de una Base de Rn .; Las coordenadas de un vector y ϵ Rn Respecto de la base de R N { ū1, ū2, . . . , ūn } son los Números reales t1, t2, . . ., tn tales que y = t1 ū1+ t2 ū2 + . . .+ ūn tn. Se puede comprobar que son únicos.; Se dice que un vector x ∈R N no nulo, de coordenadas X respecto de una determinada Base, es vector propio de la matriz
A∈Mn Si AX = λX para algún número real λ al que se llama valor Propio. Propiedades: 1) Cada vector propio de una matriz A corresponde a un único valor propio. 2) Si x es vector propio de la matriz A entonces t x , con t número real no nulo, también lo es.; El polinomio carácterístico de una matriz cuadrada A es el que se obtiene al desarrollar el Siguiente determinante | A – λ In|.  Cálculo de valores y vectores propios de una matriz cuadrada mediante su polinomio carácterístico Sean x0 un vector propio de la matriz A de orden n y λ su valor propio correspondiente, por lo tanto, Se verifica AX0 =λX0 AX0 =λX0 ⇔ AX0 - λX0 = 0 ⇔ (A - λIn )X0 = 0.; Esta última igualdad se puede interpretar como un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, con Matriz de coeficientes A −λIn y matriz de incógnitas (solución) X0. Es obvio que si A tiene vectores propios (que evidentemente serán vectores no nulos) entonces el Sistema (A − λIn)X = 0 tiene solución no trivial para algún λ, es decir “rg(A − λ In) < n” o lo que es Equivalente | A – λIn| =0. En consecuencia: A) Los valores propios de una matriz cuadrada son las raíces de su polinomio carácterístico. B) Para cada valor propio λ0 los infinitos vectores propios que le corresponden son las soluciones No nulas del sistema homogéneo (A - λ0 In )X = 0 . Este sistema tiene n - rg(A - λ0 In) grados de libertad.; Dos matrices
A, B∈Mn son semejantes si existe una matriz P regular tal que A = P-1BP. Propiedad: Matrices semejantes tienen el mismo polinomio carácterístico. ; Una matriz A∈Mn es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si Existen D diagonal y P regular tal que D = P-1AP. Teorema: Una matriz A∈Mn es diagonalizable si y solo sí existe una base de Rn Formada por vectores Propios de A, es decir, existen n vectores propios de A linealmente independientes. Proposiciones: 1) Si λ0 es valor propio con multiplicidad p entonces tiene asociados un máximo de p Vectores propios linealmente independientes. 2) Vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente independientes. Propiedad: Si A∈Mn es diagonalizable entonces la matriz diagonal D (semejante a A) tiene en la Diagonal los valores propios de A y la matriz regular P (que diagonaliza a A) tiene en sus columnas las Coordenadas de los vectores de una base formada por vectores propios de A.; Proposición: Toda matriz simétrica es diagonalizable de forma ortogonal, es decir si A es simétrica Existen P ortogonal (P-1 = Pt ) y D diagonal tales que D = PtAP. Potencias de matrices diagonalizables El objetivo es calcular Am Siendo A una matriz diagonalizable.
Se sabe que: A diagonalizable ⇒ D = P-1AP con D diagonal. Despejando la matriz A queda: A = PDP-1. Así pues Am = PDP-1. PDP-1. . . PDP-1 = PDm P -1 . Por otra parte, es fácil calcular una potencia de una matriz diagonal,