Fundamentos de Vectores y Geometría Analítica Plana

Operaciones Fundamentales con Vectores

Vector entre dos puntos

Para hallar el vector AB que une el punto A(a₁, a₂) con el punto B(b₁, b₂), se restan las coordenadas del punto de origen (A) a las del punto de destino (B):

AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂)

Módulo de un vector

El módulo de un vector u = (u₁, u₂) representa su longitud y se calcula con la siguiente fórmula:

|u| = √(u₁² + u₂²)

Producto de un escalar por un vector

La multiplicación de un número real (escalar) k por un vector v = (v₁, v₂) es:

k · v = (k · v₁, k · v₂)

Suma de vectores

La suma de dos vectores libres u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂) se obtiene sumando sus componentes correspondientes:

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

Combinación lineal de vectores

Un vector w es una combinación lineal de otros dos vectores, u y v, si se puede expresar de la forma:

w = a · u + b · v

Donde a y b son números reales.

Base de vectores

Dos vectores forman una base en el plano si son linealmente independientes (no son paralelos). Para comprobarlo, se puede resolver el sistema de ecuaciones que resulta de la combinación lineal.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores u y v se puede definir de dos maneras:

• Definición geométrica: u · v = |u| · |v| · cos(α), donde α es el ángulo que forman.
• Definición analítica: u · v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂

Ángulo entre dos vectores

A partir de la definición del producto escalar, se puede despejar el coseno del ángulo que forman dos vectores:

cos(α) = (u · v) / (|u| · |v|)

Vectores paralelos

Dos vectores u y v son paralelos si sus componentes son proporcionales, o si uno es múltiplo del otro: u = k · v para algún escalar k ≠ 0.

• Si k > 0, tienen el mismo sentido.
• Si k < 0, tienen sentido opuesto.

Vectores perpendiculares

Un vector n es perpendicular (u ortogonal) a v = (v₁, v₂) si su producto escalar es cero. Dos vectores perpendiculares a v son:

• n₁ = (v₂, -v₁)
• n₂ = (-v₂, v₁)

Puntos alineados

Tres puntos A, B y C están alineados si los vectores que forman, por ejemplo AB y BC, son paralelos (proporcionales).

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio M de un segmento con extremos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) son:

M = ((a₁ + b₁) / 2, (a₂ + b₂) / 2)

Vectores directores de los ejes

• Un vector director paralelo al eje X es (1, 0).
• Un vector director paralelo al eje Y es (0, 1).

Ecuaciones de la Recta

Para definir una recta, necesitamos un punto P(x₁, y₁) por el que pasa y un vector director v(v₁, v₂) que indique su dirección.

Ecuación vectorial

(x, y) = (x₁, y₁) + k · (v₁, v₂) con k ∈ &reals;

Ecuaciones paramétricas

{
  x = x₁ + k · v₁
  y = y₁ + k · v₂
} con k ∈ &reals;

Ecuación continua

(x - x₁) / v₁ = (y - y₁) / v₂

Ecuación general o implícita

Se obtiene al desarrollar la ecuación continua y ordenar los términos: Ax + By + C = 0

Ecuación explícita

y = mx + n

Donde m es la pendiente (m = v₂ / v₁) y n es la ordenada en el origen.

Ecuación punto-pendiente

y - y₁ = m · (x - x₁)

Posiciones Relativas, Ángulos y Distancias

Posiciones relativas de dos rectas

Dadas dos rectas en su forma general, r: Ax + By + C = 0 y s: A'x + B'y + C' = 0, se comparan sus coeficientes:

• Secantes: A/A' ≠ B/B'. Las rectas se cortan en un único punto, que se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones.
• Paralelas: A/A' = B/B' ≠ C/C'. Las rectas no tienen ningún punto en común.
• Coincidentes: A/A' = B/B' = C/C'. Las rectas son la misma y tienen todos sus puntos en común.

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas es el menor de los ángulos que forman. Se calcula utilizando sus vectores directores vᵣ y vₛ:

cos(α) = |vᵣ · vₛ| / (|vᵣ| · |vₛ|)

• Si las rectas son paralelas o coincidentes, el ángulo es de 0°.
• Si las rectas son perpendiculares, el ángulo es de 90°.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P y Q es el módulo del vector que los une:

d(P, Q) = |PQ| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Distancia entre dos rectas

• Si son secantes o coincidentes, la distancia es 0.
• Si son paralelas, la distancia es la misma que la distancia desde un punto cualquiera de una de las rectas a la otra.

Punto simétrico respecto a otro punto

Si P' es el simétrico de P respecto a Q, entonces Q es el punto medio del segmento PP'. La relación vectorial es: PP' = 2 · PQ.

Punto simétrico respecto a una recta

Para calcular el punto P' simétrico de P respecto a una recta r, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la ecuación de la recta s, que es perpendicular a r y pasa por el punto P.
2. Se calcula el punto de corte (intersección) entre las rectas r y s. A este punto lo llamamos Q.
3. El punto Q es el punto medio del segmento PP'. Se calcula P' usando la relación del punto medio.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan de los extremos A y B. Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

d(P, A) = d(P, B)

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo formado por dos rectas r y s es el lugar geométrico de los puntos P que equidistan de ambas rectas.

d(P, r) = d(P, s)

La Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro C(a, b). A esta distancia constante se le llama radio r (con r > 0).

d(P, C) = r

Ecuación canónica de la circunferencia

(x - a)² + (y - b)² = r²

Ecuación general de la circunferencia

Desarrollando la ecuación canónica se obtiene la forma general:

x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0

Resumen de Fórmulas y Conceptos Clave

Componentes y módulo de un vector

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Argumento de un vector

El argumento (α) es el ángulo que forma el vector con el eje X positivo:

α = arctg((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) = arctg(v₂ / v₁)

Posición relativa (ecuación explícita)

Dadas dos rectas en forma explícita, y = mx + n e y = m'x + n':

• Secantes: m ≠ m'
• Paralelas: m = m' y n ≠ n'
• Coincidentes: m = m' y n = n'

Puntos alineados (comprobación)

Tres puntos A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) y C(x₃, y₃) están alineados si las componentes de los vectores AB y BC son proporcionales:

(x₂ - x₁) / (x₃ - x₂) = (y₂ - y₁) / (y₃ - y₂)

Haces de rectas

• Haz de rectas secantes (por un punto): El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P(x₁, y₁) es y - y₁ = m(x - x₁). Se obtienen las diferentes rectas dando valores a la pendiente m.
• Haz de rectas paralelas: El conjunto de todas las rectas paralelas a una recta dada Ax + By + C = 0 es Ax + By + K = 0. Se obtienen las diferentes rectas dando valores a K.

Fórmulas de distancias

Distancia de un punto a una recta

La distancia desde un punto P(x₁, y₁) a una recta r de ecuación Ax + By + C = 0 es:

d(P, r) = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas dos rectas paralelas r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C' = 0, la distancia entre ellas es:

d(r, s) = |C' - C| / √(A² + B²)