Fundamentos de la Variable Aleatoria: Definición, Tipos y Ejemplos

VARIABLE ALEATORIA

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Significado:

Hasta ahora, se han estudiado carácterísticas generales de los espacios
probabilísticos (?,?,P)donde  ? Es el espacio muestral, ?¿ una ?-álgebra, y P una función de-álgebra, sino una ó
varias carácterísticas numéricas ligadas con el resultado del experimento. Así podrá
interesarnos al seleccionar un alumno de la Universidad, la probabilidad de que su nota sea
superior ó igual a 5 (probabilidad de aprobar), ó con objeto de establecer un nuevo impuesto la
probabilidad de que la renta anual de los individuos no sea superior a 20.000 euros. Estas
carácterísticas numéricas, a las que bajo determinadas condiciones podemos asociar una
probabilidad, inducida por la probabilidad de los sucesos del experimento, reciben el nombre de
variables aleatorias.

Definición 1:

Dado un fenómeno aleatorio con espacio probabilístico asociado (ƒ¶,ƒ¿,ƒ¯),
entenderemos por variable aleatoria X, una función definida sobre el espacio muestral ƒ¶ y
cuyos valores son números reales que verifica que el conjunto {?€?/X(w)<=x}€?Vx€R.

De esta forma
podemos describir de una forma más simple las probabilidades de los sucesos haciendo uso de
una nueva función: la función de densidad.

Fundamentalmente existen dos tipos de variables aleatorias las de tipo discreto y las de tipo continuo, aunque podríamos agregar un tercer grupo donde se encuentran aquellas que no pertenecen ni a uno ni a otro, éstas se llaman mixtas y no las estudiaremos aquí.

1.1.1.1 Variable de tipo discreto: Una variable aleatoria
X diremos que es de tipo
discreto, o simplemente discreta, si el conjunto de valores que toma esta variable aleatoria
(X(?)) es un conjunto contable (finito o infinito numerable).
Así cuando el conjunto de los posibles resultados de un experimento sea un conjunto
contable la variable aleatoria que tenga asociada será de tipo discreto: El lanzamiento de un
dado, la combinación ganadora del sorteo de la primitiva, el número de llamadas telefónica que
recibe una centralita, etc.Variables aleatorias de tipo continuo:
Existen fenómenos aleatorios que no
se ajustan a este tipo de modelos, pensemos por ejemplo en el tiempo que tarda una persona
en ser atendida en una cola. En este caso el conjunto de los posibles resultados es infinito no
numerable [0,+?) pero además la probabilidad de ser atendido antes del instante x se
incrementa suavemente según aumenta el valor de x. A pequeños incrementos de x se
producen pequeños incrementos de probabilidad. Este es el segundo tipo de variable aleatoria
que estudiaremos.