Fundamentos de Trigonometría y Métodos Esenciales para la Resolución de Ecuaciones

Fórmulas Trigonométricas Fundamentales

• sen(α) = Cateto opuesto / Hipotenusa
• cos(α) = Cateto contiguo / Hipotenusa
• tg(α) = Cateto opuesto / Cateto contiguo
• Identidad Pitagórica Fundamental: sen²(α) + cos²(α) = 1
• Relación Tangente-Seno-Coseno: tg(α) = sen(α) / cos(α)
• Identidad Secante: 1 + tg²(α) = sec²(α)

Conceptos y Aplicaciones Trigonométricas

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables (0°, 30°, 45°, 60°, y 90°)

Valores clave para los ángulos más comunes:

• Seno: 0, ½, √2/2, √3/2, 1
• Coseno: 1, √3/2, √2/2, ½, 0
• Tangente: 0, √3/3, 1, √3, indefinida

Relación entre Razones Trigonométricas Recíprocas

• sen(α) → cosec(α) (Cosecante)
• cos(α) → sec(α) (Secante)
• tg(α) → cotg(α) (Cotangente)

Resolución de Razones Trigonométricas para 45°

Se basa en un cuadrado de lado 1.

1. Calcular la diagonal del cuadrado usando el Teorema de Pitágoras.
2. Calcular las razones trigonométricas usando las fórmulas fundamentales.

Resolución de Razones Trigonométricas para 30° y 60°

Se basa en un triángulo equilátero (3 lados iguales y cada ángulo 60°) de lado 2.

1. Trazar la altura del triángulo.
2. Calcular la altura o el lado resultante usando el Teorema de Pitágoras.
3. Calcular las razones trigonométricas usando las fórmulas.

Métodos de Cálculo Trigonométrico Avanzado

Ejemplo de Cálculo: Determinación de cos(α) si sec(α) = -3

Si sec(α) = -3, entonces cos(α) = 1 / sec(α) = 1 / (-3) = -1/3.

Dado que 180° < α < 270°, el ángulo α se encuentra en el tercer cuadrante.

1. Verificar en qué cuadrante está el ángulo.
2. Aplicar la fórmula trigonométrica necesaria.
3. Realizar los cálculos.

Cálculo de Ángulos con Calculadora (Funciones Inversas)

Para calcular el ángulo a partir de su razón trigonométrica:

1. Calcular con la calculadora el arcsen, arccos o arctg, según lo que se pida.
2. Considerar los signos y, dependiendo del cuadrante en el que esté el seno o coseno (según los signos), aplicar la fórmula adecuada (puede ser útil visualizarlo en el círculo trigonométrico).

Cálculo Razonado del Signo y Valor de las Razones Trigonométricas de Ángulos

Ángulos Menores de 360° (Reducción al Primer Cuadrante)

1. Verificar en qué cuadrante está el ángulo.
2. Aplicar la fórmula de reducción al primer cuadrante dependiendo del cuadrante.
3. Con el ángulo reducido obtenido, calcular el sen/cos/tg (usualmente con la calculadora o valores notables).

Ángulos Mayores de 360°

1. Dividir el ángulo entre 360° para encontrar el número de vueltas completas y el ángulo equivalente (resto).
2. Verificar en qué cuadrante está el resto de la división (siempre se trabaja con el resto).
3. Aplicar la fórmula de reducción al primer cuadrante dependiendo del cuadrante del resto.
4. Con el ángulo reducido obtenido, calcular el sen/cos/tg (usualmente con la calculadora o valores notables).

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En todos los métodos, es recomendable preparar la ecuación antes de empezar (simplificar, eliminar denominadores, etc.).

Método de Igualación

1. Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Igualar las expresiones obtenidas.
3. Resolver la ecuación resultante (que tendrá una sola incógnita).
4. Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones despejadas del paso 1 para calcular el valor de la otra incógnita.

Método de Reducción

1. Elegir una incógnita para eliminar.
2. Multiplicar una o ambas ecuaciones por un número adecuado para que los coeficientes de la incógnita elegida sean opuestos.
3. Sumar las dos ecuaciones resultantes para eliminar la incógnita elegida.
4. Despejar la incógnita restante para obtener su valor.
5. Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales para calcular el valor de la otra incógnita.

Método de Sustitución

1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación resultante (que tendrá una sola incógnita).
4. Sustituir el valor encontrado en la ecuación despejada del paso 1 para calcular el valor de la otra incógnita.