Fundamentos de Trigonometría y Geometría Analítica: Fórmulas Clave y Aplicaciones

Trigonometría Fundamental

Teorema de Pitágoras

• Definición: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b.
• Fórmula: a² + b² = c²
• Uso: Calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos lados.

Funciones Trigonométricas (Seno, Coseno, Tangente)

• Aplicación: Solo se aplican a triángulos rectángulos.
• Definiciones:
  • Seno (sen): $\text{sen}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Coseno (cos): $\text{cos}(\theta) = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Tangente (tan): $\text{tan}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$
• Uso:
  • Encontrar la longitud de un lado conociendo un ángulo agudo y otro lado.
  • Encontrar un ángulo conociendo dos lados.

Ley de Senos

• Definición: En cualquier triángulo, la longitud de los lados es proporcional a los senos de los ángulos opuestos.
• Fórmula: $\frac{a}{\text{sen}(A)} = \frac{b}{\text{sen}(B)} = \frac{c}{\text{sen}(C)}$
• Uso: Resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
  • Dos ángulos y un lado (AAL o ALA).
  • Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

Ley de Cosenos

• Definición: Extiende el Teorema de Pitágoras a triángulos oblicuángulos.
• Fórmula: c² = a² + b² - 2ab cos(C) (Se aplica de manera análoga para a² y b²).
• Uso: Resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
  • Dos lados y el ángulo comprendido (LAL).
  • Los tres lados (LLL).

Identidades Trigonométricas

• Definición: Ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y son válidas para cualquier valor del ángulo.
• Uso: Simplificar expresiones o demostrar otras igualdades.
• Tipos:
  • Recíprocas:
    • $\text{csc}(\theta) = \frac{1}{\text{sen}(\theta)}$
    • $\text{sec}(\theta) = \frac{1}{\text{cos}(\theta)}$
    • $\text{cot}(\theta) = \frac{1}{\text{tan}(\theta)}$
  • Por Cociente:
    • $\text{tan}(\theta) = \frac{\text{sen}(\theta)}{\text{cos}(\theta)}$
    • $\text{cot}(\theta) = \frac{\text{cos}(\theta)}{\text{sen}(\theta)}$
  • Pitagóricas:
    • $\text{sen}^2(\theta) + \text{cos}^2(\theta) = 1$
    • $1 + \text{tan}^2(\theta) = \text{sec}^2(\theta)$
    • $1 + \text{cot}^2(\theta) = \text{csc}^2(\theta)$

Geometría Analítica

Lugares Geométricos

• Definición: Conjunto de puntos (x, y) que cumplen una misma propiedad o condición geométrica.
• Representación: Generalmente representado por una ecuación (ejemplos: línea recta, parábola, circunferencia).
• Gráfica: Representación visual de la ecuación en el plano cartesiano.

Extensión de una Gráfica (Dominio y Rango)

• Definición: Intervalos de valores de x (dominio) e y (rango) para los que la gráfica existe como números reales.
• Cálculo:
  • Restricciones Comunes:
    • El denominador de una fracción no puede ser cero.
    • El radicando de una raíz par no puede ser negativo.

Simetría de una Ecuación

• Definición: Propiedad de la gráfica que indica que es el reflejo de sí misma respecto a un eje o al origen.

Intersecciones con los Ejes

• Definición: Puntos donde la gráfica corta los ejes coordenados.

Trazado de la Gráfica

• Proceso: Trazar la figura en el plano cartesiano con base en el estudio de simetría, intersecciones y extensión.