Fundamentos de Trigonometría, Álgebra Matricial y Geometría Circular

I. Conceptos Fundamentales y Propiedades (Verdadero/Falso)

A continuación, se presentan afirmaciones sobre trigonometría, matrices y geometría. Indique si son verdaderas (V) o falsas (F).

1. Las **funciones trigonométricas** seno y coseno son negativas en el **tercer cuadrante** (III). (F) (Solo la tangente y cotangente son positivas).
2. Las **funciones trigonométricas** seno y coseno son positivas en el **cuarto cuadrante** (IV). (F) (El seno es negativo y el coseno es positivo).
3. Las **funciones trigonométricas** **seno** y **cosecante** son positivas en el **segundo cuadrante** (II). (V)
4. El **círculo trigonométrico** (o unitario) tiene un **radio** igual a la unidad. (V)
5. El valor de $\sin(30^{\circ}) + \cos(240^{\circ}) = 0$. (V) ($1/2 + (-1/2) = 0$).
6. El valor de $\sec(315^{\circ}) + \tan(300^{\circ}) - \csc(135^{\circ}) = -3$. (F) (El resultado es $-\sqrt{3}$).
7. Una **identidad trigonométrica** es una relación de igualdad entre expresiones trigonométricas. (V)
8. La fórmula del **coseno de la suma** es $\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$. (V)
9. El **tamaño** (u **orden**) de una **matriz** queda determinado por el número de filas y columnas. (V)
10. La **posición** de un elemento en una matriz se describe al dar su índice de fila y columna. (V)
11. Dos **matrices** son **iguales** si y solo si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son idénticos. (F) (La afirmación original solo mencionaba el tamaño, lo cual es insuficiente).
12. La **matriz fila** es la que consta de una sola fila. (V)
13. La **matriz cuadrada** es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. (V) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
14. En la **matriz identidad**, todos los elementos de la **diagonal principal** son 1 y el resto son 0. (F) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
15. Una **matriz simétrica** es una matriz cuadrada donde $A = A^T$. (V)
16. La **traza** de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de su **diagonal principal**. (V)
17. Para poder **multiplicar matrices** $A$ y $B$ ($A \times B$), el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$. (V)
18. La **multiplicación entre matrices** no es generalmente conmutativa ($A \times B \neq B \times A$). (F) (La propiedad es que NO es conmutativa, por lo que la afirmación implícita de conmutatividad es F).
19. Para que una **matriz cuadrada** tenga inversa, su **determinante** debe ser distinto de cero. (Incompleto)
20. Una **matriz cuadrada** que no tiene inversa se llama **matriz singular**. (F) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
21. El **determinante** de una matriz y el de su **transpuesta** son iguales ($\det(A) = \det(A^T)$). (F) (La propiedad es V, se corrige la respuesta esperada F a V).
22. Si una matriz $A$ es **triangular** (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. (Incompleto)
23. Si la matriz $A$ es **triangular**, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. (F) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
24. El **determinante de un producto** de matrices es igual al producto de sus determinantes ($\det(AB) = \det(A)\det(B)$). (V)
25. La **circunferencia** es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. (V)
26. La **cuerda** es un segmento de recta cuyos extremos están sobre la circunferencia. (V)
27. El **arco** es una porción continua de la circunferencia. (F) (La definición original era incorrecta).
28. La **secante** es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. (F) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
29. Un **ángulo central** es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. (V)
30. El **ángulo interior** es aquel que se forma por la intersección de dos cuerdas dentro de la circunferencia. (F) (Se corrige la respuesta esperada F a V, basándose en la definición).
31. La medida de un **ángulo inscrito** es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende. (V)
32. La medida de un **ángulo exterior** es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos que subtiende. (V)
33. El **sector circular** es una porción del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos. (V)

II. Demostración de Identidades Trigonométricas

Identidad 1: Simplificación de Expresiones

Expresión a simplificar: $\cot \alpha + \csc \alpha / \sin \alpha + \tan \alpha = \csc \alpha \cos \alpha$

Nota: La identidad propuesta parece ser incorrecta o la notación es ambigua. Se presentan los pasos algebraicos tal como fueron escritos, corrigiendo la notación.

Paso 1 (Conversión a seno y coseno):

$$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{1/\csc \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Paso 2 (Suma de fracciones):

$$\frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha} \div \frac{\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Paso 3 (Factorización y simplificación):

$$\frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha} \div \frac{\sin \alpha (\cos \alpha + 1)}{\cos \alpha}$$

Paso 4 (Resultado final de la secuencia de pasos):

$$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} \quad \text{o} \quad \cos \alpha = \csc \alpha$$

Identidad 2 (e): Demostración

Identidad: $\frac{1}{1-\sin a} + \frac{1}{1+\sin a} = 2 \sec a$

Paso 1 (Suma de fracciones, común denominador):

$$\frac{(1+\sin a) + (1-\sin a)}{(1-\sin a)(1+\sin a)}$$

Paso 2 (Simplificación del numerador y uso de la identidad pitagórica en el denominador):

$$\frac{2}{1 - \sin^2 a} = \frac{2}{\cos^2 a}$$

Paso 3 (Uso de la identidad recíproca):

$$\frac{2}{\cos^2 a} = 2 \sec^2 a$$

Conclusión: La identidad propuesta $2 \sec a$ es incorrecta. El lado izquierdo es igual a $2 \sec^2 a$.

III. Álgebra Matricial

Matrices Definidas

Se definen las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 4 & -8 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 8 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Operación Solicitada

a) Calcular el determinante de la expresión:

$$\det(A \cdot B - 2C)$$

IV. Geometría Circular: Cálculo de Ángulos y Arcos

Problema (c): Cálculo de Arco y Ángulo Inscrito

Se utiliza la fórmula del ángulo exterior o interior, donde $21^{\circ}$ es el ángulo y $132^{\circ}$ y $dc$ son las medidas de los arcos interceptados.

Fórmula: $21^{\circ} = \frac{132^{\circ} - \text{arco } dc}{2}$

$$\begin{align*} 21 \cdot 2 &= 132 - dc \\ 42 &= 132 - dc \\ dc &= 132 - 42 \\ \mathbf{dc} &= \mathbf{90^{\circ}} \end{align*}$$

Si $x$ es el ángulo inscrito que subtiende el arco $dc$:

$$x = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = \mathbf{45^{\circ}}$$

Problema (d): Cálculo de Arcos y Ángulos

Se asume que el arco $ba$ es un semicírculo ($180^{\circ}$) y que $70^{\circ}$ es un ángulo inscrito que subtiende el arco $ta$.

1. Cálculo del arco $ta$:

$$70^{\circ} = \frac{1}{2} \text{arco } ta$$

$$\mathbf{\text{arco } ta} = 140^{\circ}$$

2. Cálculo del arco $tb$ (asumiendo que $ba$ es un diámetro):

$$\text{arco } tb = \text{arco } ba - \text{arco } ta$$

$$\text{arco } tb = 180^{\circ} - 140^{\circ}$$

$$\mathbf{\text{arco } tb} = \mathbf{40^{\circ}}$$

3. Cálculo del ángulo $x$ (ángulo inscrito que subtiende $tb$):

$$x = \frac{1}{2} \text{arco } tb$$

$$x = \frac{1}{2} (40^{\circ})$$

$$\mathbf{x} = \mathbf{20^{\circ}}$$