Fundamentos de Termodinámica y Mecánica de Fluidos: Teorema de Reynolds y Fluidostática

Teorema del Transporte de Reynolds

El Teorema del Transporte de Reynolds relaciona la variación temporal de una propiedad extensiva de un sistema (masa, momento, energía, etc.) con las variaciones de la propiedad intensiva correspondiente dentro de un volumen de control y el flujo de dicha propiedad a través de la superficie de control.

La fórmula general es: [FÓRMULA 1]

Donde:

• B: Propiedad extensiva del sistema (e.g., masa, energía total E).
• β: Propiedad intensiva correspondiente (propiedad por unidad de masa, e.g., β=1 para masa, β=e para energía específica).
• dB/dt: Variación total de la propiedad B en el sistema.
• ρ: Densidad del fluido.
• El primer término de la integral representa la variación temporal de la propiedad dentro del volumen de control (VC).
• El segundo término de la integral representa el flujo neto de la propiedad a través de la superficie de control (SC).

Nota: La interpretación específica de los términos (como b1, B2, etc.) dependerá de la fórmula exacta presentada en [FÓRMULA 1] y su aplicación.

Interpretación de los términos de la integral (según el texto original):

• Primer término integral: Variación temporal de la propiedad β dentro del volumen de control.
• Segundo término integral: Flujo neto de la propiedad β a través de la superficie de control debido al movimiento del fluido.

Primer Principio de la Termodinámica (Conservación de la Energía)

El primer principio de la termodinámica establece la conservación de la energía para un sistema. Su forma en tasa de variación es:

[FÓRMULA 2]

Donde:

• Q̇: Tasa neta de transferencia de calor hacia el sistema (positivo si entra calor).
• Ẇ: Tasa neta de trabajo realizado por el sistema (positivo si el sistema realiza trabajo sobre el entorno).
• dE/dt: Tasa de variación de la energía total del sistema en el tiempo.

La energía total (E) de un sistema se compone de energía interna, cinética y potencial. La energía específica (e), o energía por unidad de masa, se define como:

[FÓRMULA 3]

Donde:

• e: Energía específica (energía por unidad de masa).
• u: Energía interna específica.
• v: Rapidez del fluido.
• g: Aceleración de la gravedad.
• z: Altura relativa a un punto de referencia (energía potencial específica = gz).

Aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds (con B=E y β=e) a la conservación de la energía para un volumen de control, se obtiene una forma integral:

[FÓRMULA 4]

Nota: Esta fórmula relaciona la tasa de cambio de energía en el VC y el flujo de energía a través de la SC con el calor y trabajo intercambiados. Los términos Vm y Am mencionados originalmente probablemente se refieren a los términos de acumulación temporal y convección/flujo en la ecuación integral derivada del TTR.

Componentes del Trabajo (Ẇ)

La tasa de trabajo (Ẇ) realizada por el sistema sobre el entorno se puede dividir en varias categorías:

• Trabajo de flujo (Ẇ_flujo): Trabajo realizado por la presión del fluido en las entradas y salidas del volumen de control. A menudo se combina con la entalpía.
• Trabajo de eje (Ẇ_eje o Ẇ_s): Trabajo transmitido por un eje rotatorio (e.g., turbina, bomba). Es positivo para turbinas (trabajo hecho por el fluido) y negativo para bombas (trabajo hecho sobre el fluido).
• Trabajo de esfuerzos viscosos (Ẇ_viscoso o Ẇ_sh): Trabajo realizado por los esfuerzos cortantes (viscosos) en la superficie de control.
• Otros trabajos (Ẇ_o): Cualquier otra forma de trabajo (eléctrico, magnético, etc.).

El texto original menciona categorías específicas con fórmulas:

• Trabajo de esfuerzos normales (Wn): Relacionado con la presión y esfuerzos normales. Fórmula asociada: [FÓRMULA 5] (Donde σ_n sería el esfuerzo normal, no cortante).
• Trabajo de esfuerzos cortantes (Wsh): Relacionado con la viscosidad. Fórmula asociada: [FÓRMULA 6] (Donde τ es el esfuerzo cortante).
• Trabajo de eje (Ws): Mencionado como "trabajo negativo a un eje para mover un fluido" (esto corresponde a una bomba o compresor).

La expresión completa del trabajo, incorporando estos términos, se presentaría en: [FÓRMULA 7 COMPLETA]

Considerando el trabajo de flujo y la entalpía (h = u + P/ρ = u + Pv), la ecuación de energía a menudo se simplifica. La relación con el volumen específico (v = 1/ρ) es relevante aquí: [FÓRMULA 8]

Nota: El signo del trabajo depende de la convención. En termodinámica, W > 0 si el sistema realiza trabajo. En mecánica de fluidos aplicada a máquinas, a veces se usa una convención diferente para bombas y turbinas. La nota sobre el signo negativo en el texto original probablemente se refiere al trabajo de flujo o al trabajo realizado *sobre* el sistema.

Segundo Principio de la Termodinámica (Entropía)

El segundo principio de la termodinámica introduce el concepto de entropía (S), una medida del desorden o la dispersión de la energía en un sistema. Establece que para cualquier proceso en un sistema cerrado, el cambio de entropía (dS) cumple la desigualdad de Clausius:

[FÓRMULA 9]

Donde:

• dS: Cambio infinitesimal en la entropía del sistema.
• δQ: Cantidad infinitesimal de calor transferido al sistema.
• T: Temperatura absoluta de la frontera donde ocurre la transferencia de calor.

La igualdad se cumple para procesos reversibles y la desigualdad para procesos irreversibles. La entropía total de un sistema aislado nunca disminuye.

Aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds a la entropía (con B=S y β=s, donde s es la entropía específica o entropía por unidad de masa), obtenemos la ecuación de balance de entropía para un volumen de control:

[FÓRMULA 10]

Esta ecuación establece que la tasa de cambio de entropía dentro del VC más el flujo neto de entropía hacia afuera a través de la SC es igual a la suma de la tasa de transferencia de entropía debido al calor y la tasa de generación de entropía debido a irreversibilidades dentro del VC.

Nota: Los términos Vm y Am mencionados originalmente probablemente se refieren a los términos de acumulación temporal y convección/flujo en la ecuación integral derivada del TTR para la entropía.

Fluidostática (Estática de Fluidos)

La fluidostática estudia los fluidos en reposo (equilibrio estático). En esta condición, no existen esfuerzos cortantes tangenciales; solo actúan esfuerzos normales (presión).

Ecuación Fundamental de la Fluidostática

La variación de la presión en un fluido en reposo sometido a la gravedad se describe por:

[FÓRMULA 11]

Esta ecuación (a menudo expresada como dP/dz = -ρg si z es la coordenada vertical hacia arriba) indica que la presión aumenta con la profundidad. Integrando, se obtiene P(z) = P₀ + ρgh (para densidad constante, donde h es la profundidad).

• P(z): Presión a una altura z.
• ρ: Densidad del fluido.
• g: Aceleración de la gravedad.
• El término ρgz representa la presión debida al peso de la columna de fluido (presión hidrostática). El signo depende de la orientación del eje z.

Fuerzas sobre Superficies Sumergidas

La fuerza neta ejercida por la presión del fluido sobre una superficie sumergida se calcula integrando la presión sobre el área:

[FÓRMULA 12]

Donde:

• F: Fuerza neta.
• P: Presión (que varía con la posición).
• dA: Vector diferencial de área (normal a la superficie).
• La integral se realiza sobre toda la superficie (S).

Principio de Arquímedes

La fuerza de flotación (empuje) sobre un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Esta fuerza actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado.

Matemáticamente, la fuerza de flotación (F_B) se relaciona con las fuerzas de presión y las fuerzas másicas (como la gravedad):

[FÓRMULA 13] (Probablemente relacionada con la integral de volumen de la divergencia de la presión, usando el Teorema de Gauss/Divergencia).

[FÓRMULA 14] (Expresión de la fuerza de flotación: F_B = ρ_fluido * g * V_desplazado).

Donde:

• g: Vector de aceleración de la gravedad.
• dm: Elemento diferencial de masa. Las fuerzas másicas actúan sobre la masa del fluido (e.g., peso = ∫ g dm).
• El equilibrio de un cuerpo flotante o sumergido implica la comparación entre su peso y la fuerza de flotación. La condición mencionada ρ_cuerpo = ρ_líquido corresponde a la flotación neutra (el cuerpo permanece en equilibrio a cualquier profundidad donde se le coloque).