Fundamentos de Teoría de Juegos: Equilibrios de Nash y Estrategias Dominantes

En un juego en forma normal , si para cada jugador la estrategia es estrictamente dominante, entonces por definición cumple que para todo y todo . En particular, esta desigualdad se verifica cuando los demás jugadores eligen , por lo que es una mejor respuesta a . Dado que esto ocurre para todos los jugadores, el perfil satisface la condición de mejor respuesta mutua y, por lo tanto, es un equilibrio de Nash.

a) Es un juego estático con información completa en forma normal G=⟨N,(Si )(i∈N) , (ui )(i∈N)⟩, donde N={1,2}, S1={A,B}, S2={I,D}. Los pagos ui:  S1×S2→Restán dados por la matriz: u(A,I)=(3,1), u(A,D)=(4,1), u(B,I)=(1,6), u(B,D)=(6,3). Reglas: El juego se juega una sola vez y las decisiones son simultáneas.

b) EN en mixtas. Sea q la probabilidad de que J2 juegue i : U1(A) = 3q+4(1-q) = 4-q , U1(B) = 1q+6(1-q) = 6-5q. Sea p la probabilidad de que J1 juegue A : U_2 (I)=1p+6(1-p)=6-5p , U_2 (D)=1p+3(1-p)=3-2p. Entonces EN en estrategias mixtas    {( p = 1, (1-p) = 0) ; ( q ∈ [1/2 , 1] ,(1−q) ∈ [0 , 1/2]} 

c) En tu juego, el único EN en puras es (A,I) y da pagos (3,1). No es Pareto óptimo porque existe otro resultado, (A,D), que da (4,1), donde el jugador 1 está estrictamente mejor (4>3) y el jugador 2 no está peor (1=1). Como (A,D) Pareto-domina a (A,I), el equilibrio (A,I) no es Pareto óptimo.

D) Juego repetido dos veces (T = 2)

Como el juego tiene un único equilibrio de Nash en puras, que es (A, I), en la última etapa (t = 2) necesariamente se juega (A, I).Entonces, mirando hacia atrás, en la primera etapa tampoco hay incentivo a hacer otra cosa, porque después igual se jugará (A, I). Por lo tanto, el EN perfecto en subjuegos (ENPS)
Es jugar (A, I) en ambas etapas.

1. Relación entre Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS) y Equilibrio de Nash (EN)

Sea un juego dinámico con información completa. Un perfil de estrategias es un Equilibrio de Nash (EN) si en el juego completo ningún jugador puede mejorar su pago mediante una desviación unilateral. Un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS) es un perfil de estrategias que constituye un EN en el juego completo y, además, en cada subjuego del mismo. Por lo tanto, todo ENPS es un EN, pero no todo EN es ENPS. El ENPS es un refinamiento del EN que elimina equilibrios sustentados en amenazas no creíbles, ya que exige optimalidad en todos los subjuegos.

2. Por qué un equilibrio en estrategias estrictamente dominantes es un EN

Sea un juego en forma normal. Una estrategia es estrictamente dominante para el jugador si para todo

y todo . Supongamos que cada jugador posee una estrategia estrictamente dominante , y consideremos el perfil . 

Por definición, dado cualquier perfil de los demás jugadores —y en particular — la estrategia maximiza estrictamente el pago del jugador . Por lo tanto, es una mejor respuesta a para todo . Como ningún jugador tiene incentivos a desviarse unilateralmente, el perfil satisface la definición de Equilibrio de Nash.

E) Juego repetido infinitamente

La combinación socialmente óptima es (B, D) porque da el mayor total de ganancias (6 + 3 = 9). Podemos sostenerla con una estrategia gatillo: Jugar (B, D) mientras nadie se desvíe. Si alguien se desvía, jugar para siempre el castigo (A, I).

f) Si el Jugador 1 tiene δ = 0.4. Sí se puede implementar el resultado, porque el que tiene tentación de desviarse es el Jugador 2, no el 1.
La paciencia del Jugador 1 no es el problema acá.

g) Si el Jugador 2 tiene δ = 0.4. No se puede implementar. Como 0.4 < 0.6, el Jugador 2 preferirá desviarse porque no le importa tanto el castigo futuro.

ej2

a) Es un juego dinámico con información completa e imperfecta. Es en etapas secuenciales, se conoce la estructura, las acciones y los pago, sin embargo, en la etapa de publicidad las decisiones son simultáneas. El concepto de equilibrio para predecir el resultado que se usa es Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS), un perfil que es Nash en el juego completo y en cada subjuego.

B)

C) SJA​={(N,L),(N,T),(I,L),(I,T)}.  y SJB​={(n,S),(n,R),(i,S),(i,R)}

d) Encuentro EN en puras y en mixtas. Luego JB compara su pago si elige 𝑛 vs si elige 𝑖.  Con continuación (L,S) o mixto: 4>3.75 ⇒ JB elige n. Con continuación (T,R): 5>4 ⇒ JB elige i. Por ultimo Decisión inicial de JA : Si anticipa I → n : 5>4 ⇒ JA elige I. Si anticipa I→ i → (T,R) : 4>3 ⇒ JA elige N. ENPS 1 (termina en (5,4)(5,4)(5,4)) ENPS 2 (termina en (4,8)(4,8)(4,8)) 

E) ENPS 1:  I → n  /  ENPS 2:  N

F) No. Con el perfil (NL , iS), si JA eligiera innovar, JB tendría que decidir entre i y n. Si juega i, termina en (L,S) y gana 3; si juega n, gana 4. Como 4>3, a JB le conviene desviarse a n. Entonces ese perfil no es un equilibrio en ese punto del juego y, por lo tanto, no puede ser un ENPS ni una predicción válida.

ej4

a) Se trata de un juego bayesiano estático con información incompleta y asimétrica, porque se juega de manera simultánea, osea cada vez que uno juega no sabe que juega el otro. Y es de información incompleta y asimétrica, porque la info de A es publica y la de B privada. Los pagos de B solo los conoce B.

G=⟨N = {A,B} ; SA​=SB​={C,N},TA​={20} ; TB​={10,20} ; p(θB​=10)=0.2 ; p(θB​=20)=0.8 ; (uA​,uB​)⟩

Caso 1: θB = 10 con p=0.2 > (C,C)(10,0),(C,N)(-10,0),(N,C)(0,-10),(N,N)(0,0) Caso 2: θB = 20 con p=0.8 > (C,C)(10,10),(C,N)(-10,0),(N,C)(0,-10),(N,N)(0,0) 

DIBUJAR EL Árbol. ARRANCA EN NATURALEZA VIENDO LAS DOS PROBABILIDADES Y LUEGO ARRANCA EN AMBOS LIGARES Jb UN JUEGO SIMULTANEO. PUNTEADA DE PUNTA A PUNTA,.

b.I) SA​={C,N}. SB​={(C,C),(C,N),(N,C),(N,N)}, (N,C) significa “si θB=10 juego N y si θB=20 juego C

b.Ii) Mejor respuesta de B: BRB​(C)={(C,C),(N,C)}. Y BRB​(N)={(N,N)}.