Fundamentos de la Teoría de Ajuste y Mínimos Cuadrados en Matemáticas Aplicadas

Ajuste:

ramo de la mat.
Apli. Que tiene como objetivo encontrar solución única a 1 sistema de ecc. Lineales súper abundantes y det. Su precisión.

N>u

n=nº de ecc.(observaciones) ;
u=nº de incógnitas(parámetros) ; n=u→so. Única ; n<>

Ajustar:

adaptar nuestras obs a través de un modelo mat.
con el objetivo que su solución sea la mejor estimación

Modelo mat.:

formula que representa una realidad física o funcional

mejor→mínimos cuadrados

media v/s observaciones ; medida: proceso de obtención de un <, distancia,="">,>

obs.: resultado de esa medida(10º,20cm,etc). Estas tienen una precisión con lo cual nosotros le asignamos un peso. Trabajaremos con la VARIANZA

Modelo mat:

expresión que representa una realidad física con suficiente precisión(modelo teórico)

EJ: ax+by+cz+d=0 (ecc plano)

Modelo mat funcional:

formula mat que representa una situación

*lo mas difícil de ajuste es encontrar el modelo mat que representa la situación

Modelo mat de ajuste(estocástico o probabilistico)

Es la formulación mat que se empleará para realizar el ajuste.
Este modelo permite encontrar los parámetros por medio de una func aplicada a las obs. Su elección depende de la forma de mod mat func.

1)La = F(Xa) → método de ajuste mediante el método de obs

2)F(La) =0 → método correlatos(ecc de condición) ;La=obs , Xa=parámetros ;F=mod mat fun

3)F(Xa,La)=0 → método combinado                  *La desv estándar ve la dispersión

Grados de libertad(redundancia):

r=(n-u) donde n=nºde ecc; u=nº de incógnitas

Error grosero(&épsilon;>3σ):

es aquel cuyo valor exceda que 3 veces la desv estándar

Esperanza mat:

es el valor esperado de una conjunto de obs

Propiedades:

 E(c)=C - E(E(x))=Ex - E(x+y)=E(x)+E(y) - E(cx)=c•E(x) -

E(x•y)=E(x)•E(y) - E(x²)≠(E(x))²

Varianza:

sea una func g(x) donde: g(x)=(x-E(x))²=(x-μx)²

la esperanza de esta func es llamada varianza de X

Var(x)=σ²x=E(g(x))=E((x-E(x))²)

Desv estándar:

Vx=√σ²x

Covarianza:

grado de dependencia lineal entre 2 variables

Cov(x,y)=Vxy=E((x-μx)(y-μy))

Coef de correlación: varia entre 1 y -1 ; ρxy=ρyx

ρxy=0→no tiene grado de dep lineal "son indep"o"no correlac"

Momento de una variable aleatoria:

r = orden del momento

Mr=E((x-Mx)^r )→el momento de una variable aleatoria es la esperanza

Mxx=M₂=E((x-Mx)²)=V²x ; donde E(x)=

Para 2 var aleatorias se tiee: M_LN=E((x-μx)^L(y-μy)^N)

Matriz varianza-covarianza(o momento de orden 2)

Mxx==∑xx→es matriz var-covar

∑x1x2=→es matriz cuadrada, simétrica

si obs. Son indep(no correalcionadas) la MVC es diagonal (sus elementos fuera de la diagonal son 0)

Coef de correlación:

grado de relación de las variables. Cuando es 0, son variables independientes

 ΔE=dcosα→Mod mat funcional

 ΔN=dsenα→↑

d=2500m+-2cm

 α=45º+-5''

MVC=Σ= 

MVC → ley de propagación de la varianza

NOTA:las obs no son correlac→ son indep y la covar es 0

Resumen matrices

Simétrica→A=A^T

A=→A^T=

      covarianza                  varianza