Fundamentos de las Técnicas de Ajuste en Topografía y Geodesia

Concepto de técnicas de ajuste

La topografía y la geodesia son ciencias que se basan en la adquisición de observaciones para la determinación de magnitudes relativas a la forma y dimensiones de la superficie terrestre. A este procedimiento de determinación de mensurandos a partir de la medición de observables se le conoce como medición indirecta.

En este proceso, siempre existirán:

• Unas observables (x_j).
• Uno o varios mensurandos que se pretenden conocer (y_k).
• Un modelo matemático que los relaciona.

Este modelo matemático podrá estar compuesto por una o más ecuaciones, en cada una de las cuales las observables actuarán como variables independientes y el o los mensurandos pretendidos como variables dependientes. Cada modelo matemático tendrá un número mínimo de observaciones (n₀) igual al número de observables que harán que las funciones matemáticas constitutivas del modelo tengan solución conocida.

Redundancia y residuos

Al exceso de observaciones, respecto del mínimo requerido para que exista solución, se le denomina redundancia (r):

r = n - n₀

Siendo n el número de observaciones realizadas. La resolución de esta inconsistencia del modelo, justificada por los errores de las observaciones, se conseguirá reemplazando los valores de las medidas de las observables por unas estimaciones, tales que permitan deducir el modelo.

La estimación de cada observable (x_j) puede ser considerada como un valor corregido de las observaciones (l_i) y a las diferencias entre la estimación de cada observable y su correspondiente observación/es se le denomina residuo (v_i).

Si suponemos un número m de observables y un número n de observaciones, se puede expresar de la forma:

Los residuos de cada observación son desconocidos, y habrán de determinarse para obtener las estimaciones que permitirán calcular las medidas de los mensurandos perseguidos. Al procedimiento de obtención de las estimaciones se le conoce como ajuste de observaciones, y se utiliza para calcular magnitudes fiables.

Método de ajuste por aplicación del criterio de los mínimos cuadrados

Siempre que existan medidas redundantes habrá que recurrir a un procedimiento de ajuste para conseguir una solución única y óptima. En el supuesto de observables sin dependencia entre ellas y medidas con igual precisión, aplicar el criterio de los mínimos cuadrados a los residuos supondrá que la suma de los cuadrados de los residuos (Φ) habrá de ser mínima:

Además, el valor obtenido para la estimación es la media aritmética de los valores de las observaciones correspondientes a cada observable. Si el número de observaciones es el mínimo que hace que el modelo tenga solución (n = n₀), este estará unívocamente determinado. Si se hacen más observaciones, habrá tantas ecuaciones de condición como observaciones redundantes.

Tipos de métodos de ajuste

Existen dos enfoques principales en el proceso de ajuste:

• Método de ajuste por ecuaciones de condición: Se utiliza cuando existen observaciones redundantes que generan ecuaciones de condición.
• Método de ajuste paramétrico: En este caso, el número de ecuaciones de observación es igual al número de observaciones (n). Cada una de ellas tiene un número de incógnitas cuyo cómputo total entre todas las ecuaciones de observación es un número (n₀) igual a la diferencia entre el número de medidas (n) y la redundancia (r).