Fundamentos de Sistemas Numéricos, Teoría de Conjuntos y Programación Python

Sistemas Numéricos y Conversiones

Conversión de octal a binario:
(55.35)₈ = (101 101.011 101)₂

Descomposición Polinómica

3658 = 3 · 10³ + 6 · 10² + 5 · 10¹ + 8

Conversión de base 9 a base 10:
4357₍₉₎ = 4 · 9³ + 3 · 9² + 5 · 9¹ + 7 · 9⁰ = 3211₁₀

Conversión de decimal a binario:
26₁₀ = 11010₂

Conversión de binario a hexadecimal:
(1011111.110001)₂ = (5F.C4)₁₆

Teoría de Conjuntos

Definición de Conjuntos

• Por extensión: Nombrando uno a uno todos los elementos del conjunto.
  Ejemplo: El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
  A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
• Por comprensión: Nombrando la propiedad común a todos los elementos; es decir, una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Relaciones y Tipos de Conjuntos

Pertenencia ( ∈ )

Solo relaciona elementos a conjunto.

Conjuntos Disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

Cálculo de Cardinalidad

Dado el conjunto: A = { x / x es un número par y 5 < x < 15 }

Si 5 < x < 15 y x es un número par, entonces: A = { 6, 8, 10, 12, 14 }

El conjunto A tiene 5 elementos, por lo tanto, el cardinal del conjunto potencia es:
Card P(A) = n P(A) = 2⁵ = 32

Operaciones entre Conjuntos

• Unión (∪): Son todos los elementos de A y B.
• Intersección (∩): Elementos comunes de A y B. Si no existen, el conjunto es disjunto.
• Diferencia (A - B): Solo los elementos que están en A y no en B.

Conjuntos Numéricos

• Números Naturales (N): N = { 1; 2; 3; 4; 5; ... }
• Números Enteros (Z): Z = { ...; -2; -1; 0; 1; 2; ... }

Propiedades de las Operaciones

Propiedad Conmutativa

• De la suma: a + b = b + a
• Del producto: a · b = b · a

Propiedad Asociativa

• De la suma: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
• Del producto: a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

Propiedad Distributiva

• Del producto respecto de la suma: a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )
• De la suma respecto del producto: a + ( b · c ) = ( a + b ) · ( a + c )

Programación en Python

Operadores Aritméticos y Resultados

• Suma (+): a = 10 + 5 (a es 15)
• Resta (-): a = 12 - 7 (a es 5)
• Negación (-): a = -5 (a es -5)
• Multiplicación (*): a = 7 * 5 (a es 35)
• Exponente (**): a = 2 ** 3 (a es 8)
• División (/): a = 12.5 / 2 (a es 6.25)
• División entera (//): a = 12.5 // 2 (a es 6.0)
• Módulo (%): a = 27 % 4 (a es 3)

Estructuras de Datos

Tuplas

mi_tupla = ('cadena de texto', 15, 2.8, 'otro dato', 25)

Se accede mediante índices (empezando en 0):

• print(mi_tupla[0]) # Salida: cadena de texto
• print(mi_tupla[1:4]) # Devuelve: (15, 2.8, 'otro dato')
• print(mi_tupla[3:]) # Devuelve: ('otro dato', 25)

Listas

mi_lista = ['cadena de texto', 15, 2.8, 'otro dato', 25]

• print(mi_lista[1]) # Salida: 15
• print(mi_lista[-2]) # Salida: otro dato

Diccionarios

mi_diccionario = {'clave_1': 1, 'clave_2': 2, 'clave_7': 7}

• print(mi_diccionario['clave_2']) # Salida: 2
• del(mi_diccionario['clave_2']) # Elimina la entrada

Control de Flujo

Condicionales (if, elif, else)

if semaforo == verde:
    print("Cruzar la calle")
else:
    print("Esperar")

if compra <= 100:
    print("Pago en efectivo")
elif compra > 100 and compra < 300:
    print("Pago con tarjeta de débito")
else:
    print("Pago con tarjeta de crédito")

Bucles (while, for)

anio = 2001
while anio <= 2012:
    print("Informes del año", str(anio))
    anio += 1

mi_lista = ['Juan', 'Antonio', 'Pedro', 'Herminio']
for nombre in mi_lista:
    print(nombre)

Funciones

def saludar(nombre, mensaje='Hola'):
    print(mensaje, nombre)

saludar('Pepe Grillo') # Imprime: Hola Pepe Grillo

Ejemplo: Cálculo de Factorial

def cfactorial(numero):
    factorial = 1
    for dato in range(1, numero + 1):
        factorial = factorial * dato
    return factorial

print('El factorial es: ', cfactorial(5))

Teoría de la Computación

Una máquina de Turing es un dispositivo que manipula símbolos sobre una tira de cinta de acuerdo a una tabla de reglas. A pesar de su simplicidad, una máquina de Turing puede ser adaptada para simular la lógica de cualquier algoritmo de computador y es particularmente útil en la explicación de las funciones de una CPU dentro de un computador.