Fundamentos de Sistemas Numéricos, Lógica Proposicional y Álgebra de Boole

Sistemas de Numeración

Sistema Decimal: Utiliza 10 dígitos (del 0 al 9). Su base es 10.

Sistema Binario: Utiliza 2 dígitos (0 y 1). Su base es 2.

Sistema Octal: Utiliza 8 dígitos (del 0 al 7). Su base es 8.

Sistema Hexadecimal: Utiliza 16 símbolos (dígitos del 0 al 9 y letras de la A a la F). Su base es 16.

Rango de Representación

Con n bits se pueden representar 2ⁿ números diferentes. El rango va desde 0 hasta 2ⁿ - 1.

Ejemplo: Con 4 bits = 2⁴ = 16 números diferentes. El rango es [0...15] en base 10.

Bits Necesarios

¿Cuántos bits (n) se necesitan para representar un rango de N números decimales? Se calcula con: n = log₂N.

Ejemplo: Para representar 16 números (como en el rango [0...15]), se necesitan n = log₂16 = 4 bits.

Conversiones entre Bases

Conversión a Base 10 (Decimal)

Se expresa el número en forma polinomial y se opera en base 10.

Ejemplo: BC92₁₆ = 11 * 16³ + 12 * 16² + 9 * 16¹ + 2 * 16⁰ = 45056 + 3072 + 144 + 2 = 48274₁₀

Conversión de Decimal a Binario

Se divide el número decimal sucesivamente por 2. El número binario se forma con el último cociente y los restos leídos en orden inverso.

Conversión de Fracciones Decimales a Binario

Se multiplica la parte fraccionaria sucesivamente por 2, tomando la parte entera del resultado como dígito binario. Se repite el proceso con la nueva parte fraccionaria.

Conversión de Base 10 a una Base Genérica 'a'

Se divide el número decimal sucesivamente por la base 'a'. El número en base 'a' se forma con el último cociente y los restos leídos en orden inverso.

Ejemplo: 48274₁₀ a base 16:

• 48274 / 16 = 3017 (Resto: 2)
• 3017 / 16 = 188 (Resto: 9)
• 188 / 16 = 11 (Resto: 12 -> C)
• 11 / 16 = 0 (Resto: 11 -> B)

Resultado (leyendo de abajo hacia arriba): BC92₁₆

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos. Ejemplo: A = {a, b, c, d}. Se lee: 'a' pertenece a A (a ∈ A), 'e' no pertenece a A (e ∉ A).

Determinación de Conjuntos

• Por extensión: Se enumeran todos sus elementos. Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}, B = {1, 2, 3, 5, 7}.
• Por comprensión: Se indica una propiedad que cumplen todos sus elementos. Ejemplos: A = {x | x es una vocal del alfabeto}, B = {x | x es un dígito primo}.

Subconjuntos

Un conjunto A es subconjunto de B (A ⊆ B) si todos los elementos de A son también elementos de B.

Propiedades de la Inclusión (⊆)

1. Reflexiva: A ⊆ A

2. Antisimétrica: Si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B

3. Transitiva: Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C

Propiedades de la Igualdad (=)

1. Reflexiva: A = A

2. Simétrica: Si A = B, entonces B = A

3. Transitiva: Si A = B

   y B = C

   , entonces A = C

Propiedades del Conjunto Vacío (∅)

1. Para cualquier conjunto A: ∅ ⊆ A

2. El conjunto vacío es único.

Operaciones con Conjuntos

Unión de Conjuntos (∪)

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Intersección de Conjuntos (∩)

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

Complementario de un Conjunto (A')

Dado un conjunto universal U, el complementario de A (A' o A^c) es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A. A' = {x ∈ U | x ∉ A}

Teoría de Proposiciones

El Cálculo Proposicional Clásico (CPC) se basa en los siguientes principios:

• Bivalencia: Cada fórmula o proposición recibe uno de dos valores de verdad absolutos: verdadero (V) o falso (F).
• No contradicción: Dada una fórmula y su negación, una de ellas es falsa (no pueden ser ambas verdaderas).
• Tercero excluido: Dada una fórmula y su negación, una de ellas es verdadera (no pueden ser ambas falsas).
• Identidad: Si una fórmula es verdadera, entonces es verdadera.

Esta teoría es la base para el desarrollo de lenguajes de programación estructurados y una herramienta muy útil para otros campos de la ciencia como la inteligencia artificial, la teoría de bases de datos relacionales, y el análisis y la síntesis de programas.

Lógica y Razonamiento

La lógica, como lenguaje formal, puede definirse como la ciencia o reflexión sistemática que estudia las condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser formalmente válido.

Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se produce el paso de ciertas afirmaciones (las premisas) a otra afirmación (la conclusión) que se deriva, deduce o infiere de aquellas.

La verdad es una propiedad de los enunciados o proposiciones. Un enunciado será verdadero (V) o falso (F) si lo que afirma ocurre o no en la realidad.

Lógica Proposicional o de Enunciados

Es el apartado más elemental y básico de la lógica:

• Elemental: Porque es el más sencillo.
• Básico: Porque sirve de base al resto de la estructura de la Lógica.

Estudia la validez formal de los razonamientos tomando en bloque las proposiciones que los forman, es decir, sin hacer un análisis interno de tales proposiciones.

Una proposición es una estructura lingüística que se puede evaluar como verdadera (V) o falsa (F).

Tablas de Verdad

Son herramientas para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas y la validez de los razonamientos.

Ejemplo de razonamiento:

• Premisa 1: Los perros (A) son reptiles (B) -> A → B
• Premisa 2: Los gatos (C) son perros (A) -> C → A
• Conclusión: Los gatos (C) son reptiles (B) -> C → B

La validez formal sería: Si (A → B) y (C → A), entonces (C → B). (Esto corresponde a un silogismo hipotético).

Álgebra de Boole

El Álgebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables (que pueden tomar los valores 0 o 1) y operadores lógicos. Las operaciones básicas son OR (+) y AND (·), además de la negación (').

Propiedades y Postulados del Álgebra de Boole

1. Conmutatividad:
   • X + Y = Y + X
   • X · Y = Y · X
2. Asociatividad:
   • X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
   • X · (Y · Z) = (X · Y) · Z
3. Distributividad:
   • X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)
   • X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)
4. Elementos Neutros (Identidad):
   • X + 0 = X
   • X · 1 = X
5. Complemento: (Se usa X' para denotar el complemento de X)
   • X + X' = 1
   • X · X' = 0
6. Dominación:
   • X + 1 = 1
   • X · 0 = 0
   Demostración (X + 1 = 1): X + 1 = (X + 1) · 1 (Identidad: Y · 1 = Y) = (X + 1) · (X + X') (Complemento: X + X' = 1) = X + (1 · X') (Distributividad: A + (B · C) = (A + B) · (A + C) - ¡Error en la demostración original! La correcta es: X + 1 = 1 · (X + 1) = (X + X') · (X + 1) = X + (X' · 1) = X + X' = 1. O más simple: X + 1 = (X+1)·1 = (X+1)(X+X') = X + 1·X' = X+X' = 1. La demostración original parece incorrecta o confusa. Una forma más directa: X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X') = X + (1 · X') = X + X' = 1. Otra: X + 1 = 1 por definición de OR si una entrada es 1.) Nota: La demostración provista originalmente era confusa, se ha intentado clarificar pero la propiedad de Dominación suele tomarse como postulado o derivarse de forma más estándar.
7. Idempotencia:
   • X + X = X
   • X · X = X
8. Doble Complemento (Involución):
   • (X')' = X
9. Absorción:
   • X + X · Y = X
   • X · (X + Y) = X
   Demostración (X + X · Y = X): X + X · Y = (X · 1) + (X · Y) (Identidad: X = X · 1) = X · (1 + Y) (Distributividad) = X · 1 (Dominación: 1 + Y = 1) = X (Identidad: X · 1 = X)
10. Leyes de De Morgan:
    • (A · B)' = A' + B'
    • (A + B)' = A' · B'

Ejemplo de Función Booleana

F(A, B, C, D) = (B + D) · (A + B) · C