Fundamentos de Sistemas Discretos y Procesamiento Espectral con FFT

Sistema lineal

Un sistema es lineal cuando cumple el principio de superposición (homogeneidad y aditividad)

Si x1[n]->y1[n] y x2[n]->y2[n] se cumple ax1[n]+bx2[n]-->ay1[n]+by2[n]

Sistema FIR

La respuesta al impulso de un sistema FIR tiene un número finito de términos

Sistema IIR

La respuesta al impulso de un sistema IIR tiene un número infinito de términos

Sistema invariante en t

Un sistema es invariante si un desplazamiento o retardo en la secuencia de entrada provoca el mismo desplazamiento o retardo en la secuencia de salida.

Sistema estable en sentido BIBO:

Un sistema es estable en sentido BIBO si y solo si cualquier secuencia acotada a su entrada produce una secuencia de salida acotada. Si |x[n]<=Bx<inf, entonces |y[n]|<=By<inf, para todo n.

Sistema causal: es aquel que no necesita del futuro para generar su secuencia de salida.

El sistema T(x[n])=x[-2n] es...

Estable en sentido BIBO:
si |x[n]|<inf entonces |x[-2n]|<inf, por lo tanto, el sistema es estable.

Causal:
El sistema es no causal, se necesitan valores futuros de la entrada para n>0

Lineal:
Si T1(x1[n])=x1[-2n]) y T2(x2[n])=x2[-2n]), entonces T(ax1[n]+bx2[n])=aT1x1[n]+bT2x2[n]=ax1[-2n]+bx2[-2n], por lo que es lineal

Invariante en t: Si T(x[n-no])=x[-2(n-no)]=x[-2n+2no]. La entrada x[n-no] no produce una salida del tipo y[n-no] por lo que no es invariante.

Propiedades de la convolución

Conmutatividad: y[n]=x[n]*h[n]=h[n]*x[n]     

Distributividad: x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n]

Asociatividad: (x[n]*h1[n])*h2[n]=x[n]*(h1[n]*h2[n])

¿En qué unidades están expresadas las frecuencias en el espacio de Fourier?
= En repeticiones a lo largo de la longitud del vector

Si deseamos calcular la magnitud de la contribución de la frecuencia 2 ¿qué operaciones debe realizar con el vector FX?
= multiplicar por 2 y dividir entre el número de datos

Suponga que tiene una señal periódica y discreta en el dominio del t y la analiza en el de la frec con fft ¿qué cuidado debe tener sobre la señal en el dominio del tiempo para que el análisis sea correcto?
= Tomar un tiempo de grabación correcto: tomar ciclos completos según sea la señal. De no ser así se obtendrían curvas no deseadas en el análisis de la frecuencia, cuando son ciclos completos hallamos picos firmes en la frecuencia de la señal.

También es importante el t de muestreo para aumentar la resolución en el espacio de la frecuencia

Va a diseñar un sistema de toma de datos... Debe elegir la fs y el tiempo de la toma de datos de una medición:

¿Qué parámetro modificar para analizar las componentes de mayor frecuencia?
= aumentar la fs al disminuir el periodo de muestreo

¿Qué parámetro modificar para analizar con mayor detalle el espacio de frecuencia?
= Aumentar el tiempo de toma de datos (ts) para tener una mayor resolución.

n par = Frecuencia positiva menor a negativa

n impar = frecuencia + y - iguales

Mayor resolución (saltos más pequeños) = N aumenta, t aumenta

Frecuencias altas = aumenta periodo de muestreo 

Aumentar rango = aumentar fs

Dsiminuir Δf = mantener # muestras y aumentar t

Para cambiar |fmax| = cambiar fs