Fundamentos de Sistemas Discretos y Control en el Espacio de Estados

Estabilidad y Comportamiento de Sistemas Discretos

Un sistema discreto con una secuencia de impulso es estable si dicha secuencia tiende a cero. En el caso de una respuesta al escalón, el sistema se estabiliza alcanzando una altura determinada.

Parámetros de Tiempo y Frecuencia

• Step normal: tiempo/20, tiempo/30, tiempo/70.
• Cálculo del periodo en diagramas de Bode: π / rad.
• Condiciones: Sube y baja a la vez; no debe haber ceros ni polos en el origen.
• Bode en Lazo Abierto (L.A.): Puede ser negativo.
• Bode en Lazo Cerrado (L.C.): No puede ser negativo.

Efectos del Periodo de Muestreo

Caso 1: Polos Reales a Complejos Conjugados

Sea un sistema continuo y estable de orden 2, tal que ambos polos son reales. Se escoge un periodo de muestreo y se obtiene el sistema equivalente muestreado de tal forma que la función de transferencia discreta tiene dos polos complejos conjugados. ¿Qué se puede decir sobre el periodo de muestreo elegido? INCORRECTO: EL PERIODO DEBERÍA SER REAL.

Caso 2: Inestabilidad por Muestreo

Sea un sistema continuo y estable; se escoge un periodo de muestreo y se obtiene su equivalente muestreado de tal forma que la función de transferencia discreta tiene un polo fuera del círculo unidad. ¿Qué se puede decir sobre el periodo de muestreo elegido? ESTABLE + BUEN PERIODO = DISCRETO ESTABLE (Error de muestreo).

Modelado mediante Ecuaciones en Diferencias y Transformada Z

Dada la ecuación en diferencias:

y[k] = -3.5y[k-1] - 1.5y[k-2] - u[k] + 2u[k-1]

Bajo condiciones iniciales nulas, aplicamos la Transformada Z:

Y(z) = -3.5z⁻¹ Y(z) - 1.5z⁻² Y(z) - U(z) + 2z⁻¹ U(z)

Agrupando términos:

Y(z) (1 + 3.5z⁻¹ + 1.5z⁻²) = U(z) (-1 + 2z⁻¹)

La función de transferencia resulta:

Y(z) = [(-1 + 2z⁻¹) / (1 + 3.5z⁻¹ + 1.5z⁻²)] U(z)

Y(z) = [(-z² + 2z) / (z² + 3.5z + 1.5)] U(z)

Teoremas de Valor Inicial y Final

• Valor Inicial (V.I.): 1º cálculo directo: y₀ = -3.5(0) - 1.5(0) - u₀ + 2(0) ⇒ y₀ = -1.
• Cálculo mediante límite: y₀ = lim (z → ∞) [Función · Entrada].
• Entradas comunes: Escalón (Step) = Valor · z / (z - 1); Impulso = 1.
• Valor Final (V.F.): Solo aplicable si el sistema es estable.
• y_inf = lim (z → 1) [(z - 1) · Función · Entrada].

Ejemplo adicional de función de transferencia:

Y(z) = [(z⁻¹ + 2⁻²) / (1 + 0.5z⁻¹ + 1.5z⁻²)] U(z)

Y(z) = [(z + 2) / (z² + 0.5z + 1.5)] U(z)

Representación en el Espacio de Estados

Definición de matrices:

• A: Estado a estado.
• B: Estado a entrada.
• C: Salida a estado.
• D: Salida a entrada.

Modelado de un Sistema Mecánico

Ecuaciones diferenciales:

1. m₁·q̈₁ = -2kq₁ - cq′₁ + kq₂
2. m₂·q̈₂ = kq₁ - c·q′₂ - 2kq₂ + ku

Número de estados = 4. Entrada u, Salida q₂.

Variables de estado:

• x₁ = q₁ ⇒ x′₁ = q′₁ = x₂
• x₂ = q′₁ ⇒ x′₂ = q̈₁
• x₃ = q₂ ⇒ x′₃ = q′₂ = x₄
• x₄ = q′₂ ⇒ x′₄ = q̈₂

Matrices de salida: C = (0, 0, 1, 0), D = (0).

Desarrollo de Ecuaciones de Estado

1ª Ecuación: m₁(x′₂) = -k(x₁) - c(x₂) + k(x₃)

x′₂ = (-2k/m₁)x₁ + (-c/m₁)x₂ + (k/m₁)x₃ + 0x₄ + 0u

2ª Ecuación: x′₄ = (k/m₂)x₁ + (-2k/m₂)x₂ + 0x₃ + (c/m₂)x₄ + (k/m₂)u

Ecuaciones auxiliares:

• x′₁ = x₂ = 0x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0u
• x′₃ = x₄ = 0x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0u

Forma general continua: x′(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t) + Du(t).

Discretización de Sistemas

Dadas las matrices continuas:

• A: Diagonal (-1, -5, -4, -10)
• B: Vector vertical (1, 1, 1, 1)
• C: (1, 1, 1)
• D: (0)

En el dominio discreto: C_d = C y D_d = D.

Transformación a discreto:

x′(t) = Ax(t) + Bu(t) ⇒ x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)

y(t) = Cx(t) + Du(t) ⇒ y(k) = C_d x(k) + D_d u(k)

Cálculo de matrices discretas:

• A_d = e^{At}
• B_d = (A_d - I) · A⁻¹ · B

Para elegir el periodo T, se toma el polo más lejano de la diagonal multiplicado por 10: T = (π / val · 10).