Fundamentos de Regresión Lineal y Supuestos del Modelo Clásico en Econometría

Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas

Escrito el 29 de Julio de 2025 en español con un tamaño de 8,3 KB

Conceptos Fundamentales de Regresión Lineal

Tipos de Variables

Y (Variable Dependiente): Explicada, a explicar, dependiente, endógena, regresando.
X (Variable Independiente): Explicativa, independiente, exógena, regresora.

Tipos de Datos

Transversales: Observaciones de diferentes unidades en un mismo punto en el tiempo (ej. 50 familias en 2018).
Temporales (Series de Tiempo): Observaciones de una misma unidad a lo largo del tiempo (ej. 1 familia entre 2012-2020).
Combinados: Muestras transversales independientes en diferentes momentos del tiempo (ej. 50 familias en 2016, 30 familias en 2018, 40 familias en 2022).
Panel/Longitudinales: Observaciones de las mismas unidades a lo largo del tiempo (ej. 30 familias entre 2016-2018).

Supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL)

No hay errores de medida en las variables.
Los regresores (variables X) son no estocásticos (fijos en muestreos repetidos).
La perturbación aleatoria no está autocorrelacionada.

Ecuación de Regresión Lineal y Propiedades del Error

La ecuación de regresión lineal simple es: Y = β₀ + β₁X₁ + ε

La parte no explicada es el error o residuo: e

Propiedades de los residuos (e):

eᵢ = Yᵢ - Ŷᵢ
Suma de Cuadrados de los Errores (SCE): SCE = Σeᵢ²
Suma de los residuos: Σeᵢ = 0
Los residuos individuales no son necesariamente cero: eᵢ ≠ 0
Suma de los productos cruzados de X y e: ΣXᵢeᵢ = 0
Covarianza entre el error y los regresores: Cov(e, X) = 0

Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Matriz de Regresores (X'X)

La matriz de productos cruzados de los regresores (X'X) para un modelo con k variables explicativas y una constante (k+1 parámetros) tiene una dimensión de (k+1)x(k+1):

X'X = (  n       ΣX₁       ΣX₂  )
      ( ΣX₁     ΣX₁²      ΣX₁X₂ )

El rango de esta matriz debe ser k+1.

Inversa de la Matriz de Regresores (X'X)⁻¹

La inversa de la matriz de productos cruzados se calcula como:

(X'X)⁻¹ = Adj(X'X)ᵀ / |X'X|

El rango de esta matriz también debe ser k+1.

Matriz de Productos Cruzados de Regresores y Variable Dependiente (X'Y)

La matriz de productos cruzados de los regresores y la variable dependiente (X'Y) tiene una dimensión de (k+1)x1:

X'Y = ( ΣYᵢ   )
      ( ΣX₁Yᵢ )
      ( ΣX₂Yᵢ )

Vector de Coeficientes Estimados (b)

El vector de coeficientes estimados (b) se obtiene mediante:

b = (X'X)⁻¹ * (X'Y) = ( b₀ )
                          ( b₁ )
                          ( b₂ )

Donde b es el estimador de β.

Suma de Cuadrados de los Errores (SCE) y Varianza del Error

La Suma de Cuadrados de los Errores (SCE) se define como:

SCE = Σeᵢ² = e'e
También se puede calcular como: SCE = Y'Y - b'X'Y (donde Y'Y = ΣYᵢ²)

La varianza muestral de los errores (S²) y la desviación típica (S) se calculan como:

S² = SCE / (n - k - 1)
S = √(SCE / (n - k - 1)) (Desviación Típica)

Condiciones para el Funcionamiento del Modelo

El determinante de la matriz (X'X) debe ser distinto de cero: |X'X| ≠ 0.
El rango de (X'X) debe ser k+1 (rango completo).
El número de observaciones (n) debe ser mayor o igual al número de parámetros a estimar (k+1): n ≥ k+1.
No debe existir relación lineal perfecta entre las variables explicativas (ausencia de multicolinealidad perfecta).

Supuestos Adicionales y Propiedades de los Estimadores

Supuestos Relacionados con las Variables

Selección de variables correctas: El modelo debe incluir las variables explicativas relevantes.
No se omite ninguna variable relevante que explique Y.
No se incluyen variables irrelevantes.
No hay errores de medida en las variables.
Los regresores (X) son no estocásticos (fijos en muestreos repetidos).
La perturbación aleatoria no está autocorrelacionada.

Supuestos Clave de las Variables Explicativas

Regresores no estocásticos: Implica que, al tomar muestras repetidas del mismo tamaño, los valores de las variables X permanecen fijos, mientras que Y puede variar.
Ausencia de Multicolinealidad Perfecta: No existe una relación lineal perfecta entre las variables explicativas (X).
El número de observaciones (n) debe ser mayor o igual al número de parámetros a estimar (k+1): n ≥ k+1.

Supuestos de la Perturbación Aleatoria (ε)

Media Cero: La esperanza de la perturbación aleatoria es cero: E(ε) = 0.
Homocedasticidad: La varianza de la perturbación aleatoria es constante para todas las observaciones: Var(ε) = σ².
Esto implica que: E(εᵢ²) = σ².
Ausencia de Autocorrelación: La covarianza entre dos perturbaciones aleatorias diferentes es cero: Cov(εᵣ, εₛ) = 0 para r ≠ s.
Si Cov(εᵣ, εₛ) = 0, entonces Cov(Yᵣ, Yₛ) = 0.

Matriz de Varianzas y Covarianzas de la Perturbación (Ω)

La matriz de varianzas y covarianzas de la perturbación (Ω) es una matriz nxn:

Var(ε) = Ω = ( Var(ε₁)   Cov(ε₁,ε₂) ... )
                 ( Cov(ε₁,ε₂) Var(ε₂)   ... )
                 ( ...        ...       ... )

Propiedades de los Parámetros y Estimadores

El estimador de los coeficientes es b = β̂.
El estimador de la varianza del error es σ̂² = S².

Matriz de Varianzas y Covarianzas de los Estimadores (Var(b))

La matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores (b) es una matriz (k+1)x(k+1):

Var(b) = ( Var(b₀)   Cov(b₀,b₁) ... )
         ( Cov(b₀,b₁) Var(b₁)   ... )
         ( ...         ...       ... )

La varianza de los estimadores es: Var(b) = σ²(X'X)⁻¹.
La covarianza entre dos estimadores es: Cov(bₚ, bq) = σ²(X'X)⁻¹ₚq (elemento pq de la matriz).
La varianza estimada de los estimadores es: Var̂(b) = S²(X'X)⁻¹.
La covarianza estimada entre dos estimadores es: Cov̂(bₚ, bq) = S²(X'X)⁻¹ₚq.

La desviación típica de un estimador (error estándar) es: DT(bⱼ) = √Var(bⱼ).
La esperanza de la varianza muestral es la varianza poblacional: E(S²) = σ² = E(SCE / (n - k - 1)).
Los estimadores son insesgados: E(b) = β y E(bⱼ) = βⱼ.
La desviación típica estimada de la perturbación es: DT̂(ε) = σ̂ = S.

Clasificación de Variables y Parámetros

Aleatorios/Estocásticos:

Ŷ (Valores predichos)
S² (Varianza muestral del error)
ε (Perturbación aleatoria)
b (Estimadores de los coeficientes)
Y (Variable dependiente)
Var̂ (Varianza estimada)
β̂ (Estimadores de los coeficientes)
S (Desviación típica muestral del error)

Parámetros/No Estocásticos/No Aleatorios:

Var (Varianza poblacional)
σ² (Varianza poblacional del error)
β (Coeficientes poblacionales)
X (Variables explicativas, consideradas fijas)
σ (Desviación típica poblacional del error)

Entradas relacionadas:

Etiquetas: