Fundamentos de Regresión Lineal y Correlación: Conceptos y Propiedades Estadísticas

Conceptos Fundamentales de Estadística Bivariada

Definiciones Clave: Dispersión, Correlación y Covarianza

• Diagrama de Dispersión: Permite estudiar la relación entre dos conjuntos asociados de datos que aparecen en pares $(X, Y)$. Se representa gráficamente como una "nube de puntos".
• Correlación: Mide el grado de relación lineal entre dos variables. Indica la intensidad y la dirección de esta posible relación.
• Covarianza: Es una medida de asociación lineal entre dos características o variables que ayuda a identificar si existe alguna relación entre ellas.

Interpretación de Relaciones Lineales

Comportamiento de Variables en una Relación Lineal Negativa

¿Cómo se comportan las variables $X$ e $Y$ en una relación lineal negativa?

En una relación lineal negativa, las variables varían en sentido contrario: una variable (ya sea $X$ o $Y$) va disminuyendo mientras que la otra va aumentando.

Evaluación de la Intensidad de la Relación

¿De qué forma obtenemos una primera impresión intuitiva de la relación entre dos variables?

La primera impresión se obtiene visualmente mediante el Diagrama de Dispersión, aunque el Coeficiente de Correlación ($r$) cuantifica esta relación.

¿De qué manera podemos determinar con mayor certeza la fuerza de la relación entre dos variables?

La certeza sobre la fuerza de la relación se establece cuando el valor del Coeficiente de Determinación ($r^2$) se acerca a 1 o es igual a 1.

Propiedades de los Coeficientes Estadísticos

Propiedades del Coeficiente de Regresión (Pendiente $b_{YX}$)

Mencione tres propiedades del coeficiente de regresión:

1. Si $b_{YX} = 0$, para cualquier valor de $X$ la variable $Y$ es constante (es decir, no cambia).
2. Si $b_{YX} > 0$, esto nos indica que, al aumentar el valor de $X$, también aumenta el valor de $Y$ (relación directa).
3. Si $b_{YX} < 0$, esto nos indica que, al aumentar el valor de $X$, el valor de $Y$ disminuye (relación inversa).

Propiedades del Coeficiente de Correlación ($r$)

Mencione tres propiedades del coeficiente de determinación (referidas al coeficiente de correlación $r$):

1. El coeficiente de correlación ($r$) es adimensional y siempre toma valores en el intervalo $[-1, 1]$.
2. Si $r > 0$, esto indica una relación directa entre las variables (es decir, que, si aumentamos $X$, también aumenta $Y$).
3. Si $r < 0$, la correlación entre las variables es inversa (si aumentamos una, la otra disminuye).

Introducción a la Regresión Lineal Simple

Definición de Regresión y Regresión Lineal Simple

Regresión: Es una técnica estadística utilizada para modelar y simular la relación existente entre dos o más variables.

Regresión Lineal Simple: Es un modelo estadístico cuyo objetivo es explicar la relación entre una variable dependiente (variable respuesta, $Y$) y una única variable independiente (variable explicativa, $X$).

Roles de las Variables en el Modelo de Regresión

En un modelo de regresión, ¿qué indica la variable $Y$ y la variable $X$?

• La variable $Y$ significa: variable dependiente o variable de respuesta.
• La variable $X$ significa: variable independiente o variable explicativa.

La Recta de Regresión

¿Cómo se le llama a la línea de regresión calculada a partir de los datos muestrales, por el método de Mínimos Cuadrados?

Se denomina Recta de Regresión.

Interpretación de los Parámetros del Modelo ($eta_0$ y $eta_1$)

¿Qué representan los valores $eta_1$ y $eta_0$ en un modelo de regresión lineal simple?

Son constantes desconocidas (parámetros poblacionales):

• $eta_1$: Representa la Pendiente de la recta.
• $eta_0$: Representa la Ordenada al origen (el valor esperado de $Y$ cuando $X=0$).