Fundamentos de Proyección Diédrica: Conceptos y Métodos Esenciales

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Fundamentos de Proyección Diédrica

Posición Relativa de Puntos en los Cuadrantes

  • 1er Cuadrante: Segundas proyecciones (r2) arriba de la Línea de Tierra (LT), primeras proyecciones (r1) abajo de LT.
  • 2do Cuadrante: Ambas proyecciones (r1 y r2) arriba de LT.
  • 3er Cuadrante: Primeras proyecciones (r1) arriba de LT, segundas proyecciones (r2) abajo de LT.
  • 4to Cuadrante: Ambas proyecciones (r1 y r2) abajo de LT.

Consideraciones Adicionales

  • Alejamiento mayor que cota: Puntos en los cuadrantes 1 y 4 (y en los bisectores 5 y 8).
  • Cota mayor que alejamiento: Puntos en los cuadrantes 2 y 3 (y en los bisectores 6 y 7).

Tipos de Rectas en Proyección Diédrica

  • Recta Frontal: r2 paralela a la Línea de Tierra (LT), r1 oblicua.
  • Recta de Punta: r1 perpendicular a LT, r2 es un punto (coincidente con la proyección vertical de su traza vertical, V2).
  • Recta Paralela a LT: r1 y r2 paralelas a LT.
  • Recta que Corta a LT: r1 y r2 se cortan en el mismo punto de LT.
  • Recta de Perfil: r1 y r2 son perpendiculares a LT y coincidentes.

Tipos de Planos en Proyección Diédrica

  • Plano Proyectante Vertical: α1 perpendicular a LT, α2 oblicua.
  • Plano Proyectante Horizontal: α2 perpendicular a LT, α1 oblicua.
  • Plano Horizontal: α2 paralela a LT, α1 no tiene traza horizontal (o es paralela a LT).
  • Plano de Perfil: α1 y α2 son paralelas a LT. Para su representación, se utiliza una recta de perfil auxiliar (π) para obtener la tercera proyección (α3).
  • Plano que Pasa por LT: α1 y α2 son coincidentes con LT.

Relaciones de Pertenencia (Incidencia)

Pertenencia de Recta a Plano

Una recta (r) pertenece a un plano (α) si su traza vertical (V) está en α2 y su traza horizontal (H) está en α1.

  • Caso 1: Recta sin traza horizontal (Recta Frontal): r2 es paralela a LT, y r1 es paralela a α1.
  • Caso 2: Recta sin traza vertical (Recta Horizontal): r1 es paralela a LT, y r2 es paralela a α2.

Rectas Notables en un Plano

  • Recta de Máxima Pendiente de un Plano: r1 es perpendicular a α1.
  • Recta de Máxima Inclinación de un Plano: r2 es perpendicular a α2.

Pertenencia de Punto a Plano

Un punto (P) pertenece a un plano (α) si pertenece a una recta (r) contenida en dicho plano.

Definición de un Plano

Método 1: Por Dos Rectas que se Cortan o son Paralelas

  1. Obtener las trazas de la recta r (Hr1, Vr2).
  2. Obtener las trazas de la recta s (Hs1, Vs2).
  3. La traza vertical del plano (α2) pasa por Vr2 y Vs2.
  4. La traza horizontal del plano (α1) pasa por Hr1 y Hs1.

Método 2: Por un Punto y una Recta

  1. Tomar un punto auxiliar de la recta r.
  2. Unir el punto dado (P) con el punto auxiliar para obtener una segunda recta (s).
  3. Obtener las trazas de la recta r.
  4. Obtener las trazas de la recta s.
  5. La traza vertical del plano (α2) pasa por Vr2 y Vs2.
  6. La traza horizontal del plano (α1) pasa por Hr1 y Hs1.

Método 3: Por Tres Puntos No Alineados

  1. Unir los puntos A y B para obtener la recta r.
  2. Unir los puntos B y C para obtener la recta s.
  3. Hallar las trazas de r y s.
  4. La traza horizontal del plano (α1) pasa por Hr1 y Hs1.
  5. La traza vertical del plano (α2) pasa por Vr2 y Vs2.

Operaciones de Paralelismo

Paralelismo entre Recta y Plano

Construcción de un Plano Paralelo a Otro, Pasando por un Punto

Dado: Plano α y un punto P.

  1. Trazar por P una recta horizontal (r) tal que r1 sea paralela a α1 y r2 sea paralela a LT.
  2. Trazar la traza vertical del plano β (β2) paralela a α2 y que pase por V2 de r.
  3. Trazar la traza horizontal del plano β (β1) paralela a r1 y a α1.

Construcción de un Plano que Contiene una Recta y es Paralelo a Otra

Dado: Recta r y un punto P.

  1. Trazar la recta s que pase por P y sea paralela a r.
  2. Trazar el plano α que contenga a s (α1 pasa por Hs1 y α2 por Vs2).

Paralelismo entre Rectas

El paralelismo entre rectas se verifica directamente en sus proyecciones: r1 es paralela a s1 y r2 es paralela a s2.

Operaciones de Perpendicularidad

Perpendicularidad entre Rectas

Dado: Una recta r y un punto P.

  1. Trazar por P un plano α perpendicular a r.
    • Para ello, trazar una recta horizontal (q) que pase por P, tal que q1 sea perpendicular a r1 y q2 sea paralela a LT.
    • La traza vertical de α (α2) pasa por V2 de q.
    • La traza horizontal de α (α1) es perpendicular a r1.
  2. Hallar la intersección de la recta r con el plano α (punto I).
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (β) que contenga a r (β2 coincidente con r2, β1 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección (i) entre α y β.
    • El punto de intersección I es donde i1 y r1 se cortan.
  3. Unir P con I para obtener la recta solución (s), que es perpendicular a r y pasa por P.

Perpendicularidad entre Planos

(Asumiendo el objetivo es construir un plano β perpendicular a una recta r, pasando por un punto A en r)

  1. Coger un punto cualquiera de r (A).
  2. Trazar por A dos rectas auxiliares (s y t) que definan un plano β perpendicular a r.
    • Por ejemplo, una recta horizontal (s) tal que s1 sea perpendicular a r1 y s2 paralela a LT.
    • Y una recta frontal (t) tal que t2 sea perpendicular a r2 y t1 paralela a LT.
  3. Las trazas del plano β (β1 y β2) se obtienen a partir de las trazas de s y t.

Perpendicularidad entre Recta y Plano

Dado: Una recta r y un punto P.

  1. Trazar un plano α perpendicular a r que pase por P.
    • Trazar una recta horizontal (s) que pase por P, tal que s2 sea paralela a LT y s1 sea perpendicular a r1.
    • La traza vertical de α (α2) pasa por V2 de s.
    • La traza horizontal de α (α1) es paralela a s1 y perpendicular a r1.

Caso Especial: Recta de Perfil y Plano de Perfil (Tercera Proyección)

Dado: Una recta de perfil (r1 y r2 coincidentes y perpendiculares a LT), un punto P y un plano de perfil (α paralelo a LT).

  1. Trazar una recta de perfil auxiliar (π) y llevar el plano α y el punto P a la tercera proyección (α3 y P3).
  2. Trazar la recta r3 perpendicular a α3 y que pase por P3.
  3. El punto de intersección (I) es donde r3 corta a α3.

Operaciones de Intersección

Intersección entre Planos

La recta de intersección (i) entre dos planos (α y β) se define por la unión de sus trazas:

  • La traza horizontal de i (Hi) se encuentra donde α1 y β1 se cortan.
  • La traza vertical de i (Vi) se encuentra donde α2 y β2 se cortan.
  • i1 pasa por Hi1 y Vi1.
  • i2 pasa por Hi2 y Vi2.

Casos Especiales de Intersección entre Planos

  • Plano Cualquiera con Plano Proyectante Vertical:
    • β1 es perpendicular a LT y coincide con i1.
    • Donde α1 corta β1, se encuentra Hi1.
    • i2 es paralela a α2.
  • Plano Cualquiera con Plano Proyectante Horizontal:
    • β2 es perpendicular a LT y coincide con i2.
    • Donde β2 corta α2, se encuentra Vi2.
    • i1 es paralela a α1.
  • Intersección entre Dos Planos con el Mismo Vértice (en LT):

    Dado: Dos planos (α y β) con el mismo vértice en LT.

    1. Trazar un plano auxiliar (ω) paralelo a LT (ω2 paralela a LT y coincidente con r2 y s2 de rectas auxiliares).
    2. Donde α2 corta ω2, se obtiene Vr2. Donde β2 corta ω2, se obtiene Vs2.
    3. Trazar por Vr1 una recta r1 paralela a α1. Trazar por Vs1 una recta s1 paralela a β1.
    4. Donde r1 y s1 se cortan, se encuentra un punto P de la recta de intersección (i).
    5. Pasar P a ω2; por ahí pasa i2.
  • Intersección entre Dos Planos de Perfil (Paralelos a LT):

    Dado: Dos planos de perfil (α y β, con α1, α2, β1, β2 paralelas a LT).

    1. Trazar una recta de perfil auxiliar (π) y llevar los planos a la tercera proyección (α3 y β3).
    2. Donde α3 y β3 se cortan, se encuentra i3.
    3. Pasar i3 para hallar i2 e i1.
  • Intersección entre Plano de Perfil y Plano que Pasa por LT:

    Dado: Un plano de perfil (β paralelo a LT), un plano que pasa por LT (α contenida en LT) y un punto P en α.

    1. Trazar una recta de perfil auxiliar (π) y llevar β y P a la tercera proyección (β3 y P3).
    2. Trazar α3 que sale desde donde π corta LT y pasa por P3.
    3. Donde α3 y β3 se cortan, se encuentra i3.

Intersección entre Recta y Plano

Dado: Una recta r y un plano α.

  1. Trazar un plano auxiliar (β) que contenga a r (por ejemplo, un plano proyectante: β2 coincidente con r2, β1 perpendicular a LT).
  2. Hallar la recta de intersección (i) entre el plano α y el plano β.
  3. El punto de intersección (I) es donde la recta r y la recta i se cortan.

Cálculo de Mínimas Distancias

Mínima Distancia entre Punto y Plano

Dado: Un plano α y un punto P.

  1. Trazar por P una recta r perpendicular a α.
  2. Hallar el punto de intersección (I) de la recta r con el plano α.
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (β) que contenga a r (β2 coincidente con r2, β1 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección (i) entre α y β.
    • El punto I es donde i y r se cortan.
  3. Hallar la verdadera magnitud (VM) del segmento PI.

Mínima Distancia entre Punto y Recta

Dado: Una recta r y un punto P.

  1. Trazar un plano α perpendicular a r que pase por P.
    • Trazar una recta horizontal (s) que pase por P, tal que s2 sea paralela a LT y s1 sea perpendicular a r1.
    • Las trazas de α se obtienen a partir de s (α2 pasa por Vs2, α1 es perpendicular a r1 y paralela a s1).
  2. Hallar el punto de intersección (I) de la recta r con el plano α.
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (β) que contenga a r (β1 coincidente con r1, β2 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección (i) entre α y β.
    • El punto I es donde i y r se cortan.
  3. Hallar la verdadera magnitud (VM) del segmento PI.

Mínima Distancia entre Dos Planos Paralelos

Dado: Dos planos paralelos (α y β).

  1. Trazar una recta r perpendicular a ambos planos (α y β).
  2. Hallar los puntos de intersección A (r con α) y B (r con β).
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (ν) que contenga a r (ν2 coincidente con r2, ν1 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección 'a' entre α y ν. El punto A es donde 'a' y r se cortan.
    • Hallar la recta de intersección 'b' entre β y ν. El punto B es donde 'b' y r se cortan.
  3. Hallar la verdadera magnitud (VM) del segmento AB.

Mínima Distancia entre Dos Rectas Paralelas

Dado: Dos rectas paralelas (r y s).

  1. Trazar un plano α perpendicular a ambas rectas (r y s).
  2. Hallar los puntos de intersección A (r con α) y B (s con α).
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (β) que contenga a r (β2 coincidente con r2, β1 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección 'a' entre α y β. El punto A es donde r1 y a1 se cortan.
    • Trazar un plano proyectante auxiliar (ν) que contenga a s (ν2 coincidente con s2, ν1 perpendicular a LT).
    • Hallar la recta de intersección 'b' entre α y ν. El punto B es donde s1 y b1 se cortan.
  3. Hallar la verdadera magnitud (VM) del segmento AB.
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