Fundamentos de Proporcionalidad, Semejanza y Teorema de Tales en Geometría

Proporcionalidad de Cantidades

Dos cantidades X e Y son proporcionales si su relación es constante: y / x = m (o también y = mx). En este caso, el número m se llama la constante de proporcionalidad.

La gráfica de la función que relaciona dos cantidades proporcionales es siempre una línea recta que pasa por el origen (la recta y = mx).

Semejanza de Figuras

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque difieran en tamaño. Hay dos condiciones que deben cumplir las figuras para ser semejantes:

• Los segmentos involucrados son proporcionales, es decir, la longitud de cada uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra figura por un factor fijo (doble, triple, etc.). Este factor es la razón de semejanza.
• Los ángulos asociados deben ser iguales.

Teorema de Tales

Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de líneas paralelas, los segmentos que se determinan en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra línea.

En este caso, se cumple que: OA / OA' = OB / OB' = OC / OC' y también AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C' = constante.

De la igualdad OA / OA' = OB / OB' se deduce que OA · OB' = OB · OA' (producto de medios = producto de extremos), y por lo tanto OA / OB = OA' / OB'.

Teorema de Tales (Segunda Forma)

Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de líneas paralelas, la relación entre dos segmentos de una de las rectas es igual a la relación de los segmentos correspondientes de la otra línea.

Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados, determina en estos segmentos proporcionales. En el triángulo ABC, si se traza una paralela a BC que pasa por D y E, se determinan segmentos que son proporcionales porque sus razones son las mismas.

Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados proporcionales. Es decir, si los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes, se cumple que los ángulos A = A', B = B' y C = C', y las razones A'B' / AB = B'C' / BC = C'A' / CA = r, donde r es la razón de semejanza.

Recuerde que para que dos figuras sean semejantes, deben tener los segmentos asociados proporcionales y los ángulos asociados iguales.

Sin embargo, como hemos visto, para que dos triángulos sean semejantes, es suficiente que cumplan una de las dos condiciones anteriores (ya que la otra se cumple automáticamente). Esto no sucede con otras figuras planas que no son triángulos.

Criterios de Semejanza de Triángulos

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, entonces son semejantes.

Criterio AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo)

Si dos triángulos tienen sus ángulos iguales, entonces son semejantes.

Estas ideas acerca de la semejanza de triángulos nos permitirán definir las razones trigonométricas.

Recapitulación de Conceptos Clave

A continuación, se reiteran algunos conceptos fundamentales para reforzar su comprensión:

Teorema de Tales (Segunda Forma)

Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de líneas paralelas, la relación entre dos segmentos de una de las rectas es igual a la relación de los segmentos correspondientes de la otra línea.

Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados, determina en estos segmentos proporcionales. En el triángulo ABC, si se traza una paralela a BC que pasa por D y E, se determinan segmentos que son proporcionales porque sus razones son las mismas.

Semejanza de Triángulos (Revisión)

Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados proporcionales. Es decir, si los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes, se cumple que los ángulos A = A', B = B' y C = C', y las razones A'B' / AB = B'C' / BC = C'A' / CA = r, donde r es la razón de semejanza.

Recuerde que para que dos figuras sean semejantes, deben tener los segmentos asociados proporcionales y los ángulos asociados iguales.

Sin embargo, como hemos visto, para que dos triángulos sean semejantes, es suficiente que cumplan una de las dos condiciones anteriores (ya que la otra se cumple automáticamente). Esto no sucede con otras figuras planas que no son triángulos.

Criterios de Semejanza de Triángulos (Revisión)

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, entonces son semejantes.

Criterio AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo)

Si dos triángulos tienen sus ángulos iguales, entonces son semejantes.

Estas ideas acerca de la semejanza de triángulos nos permitirán definir las razones trigonométricas.