Fundamentos de Probabilidad y Técnicas de Combinatoria

Conceptos de Probabilidades

Probabilidades: mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado o suceso cuando se realiza un experimento aleatorio.

El valor 0 corresponde al suceso imposible, el valor 1 corresponde al suceso seguro; el resto de los sucesos tendrán probabilidades comprendidas entre 0 y 1.

¿Cómo se miden las probabilidades?

La Regla de Laplace define la probabilidad del suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles:

P(A) = Casos favorables / Casos posibles

Requisitos para aplicar la Regla de Laplace:

Para poder aplicar la Regla de Laplace se tienen que cumplir dos requisitos:

• a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito.
• b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad.

Tipos de Sucesos

• Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se puedan presentar.
• Suceso compuesto: es un conjunto de sucesos elementales.

Relación entre sucesos

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

• A) Inclusión: un suceso puede estar contenido en otro. Las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene, además, otras soluciones.
• B) Igualdad: dos sucesos pueden ser iguales; esto ocurre siempre que, al cumplirse uno de ellos, se emplee obligatoriamente el otro y viceversa.
• C) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los sucesos elementales de los sucesos que se unen. Ejemplo: E: (1, 2, 3, 4, 5, 6); A: (2, 3); B: (5); A ∪ B: (2, 3, 5).
• Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan. Ejemplo: A: (2, 3, 5); B: (3, 4, 5, 6); A ∩ B: (3, 5).
• Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo, ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).
• Sucesos complementarios: son aquellos que, si no se da uno, obligatoriamente se da el otro.

Técnicas de Combinatoria

Combinaciones

Determina el número de subgrupos de 1, 2 o 3 elementos que se pueden formar con los N elementos de una muestra.

Fórmula de Combinaciones (Cmn):

Cmn = m! / [n! * (m - n)!]

Ejemplo: C3,2 = 3! / [2! * (3 - 2)!] = (3 * 2 * 1) / (2 * 1 * 1) = 3

Variaciones

Calcula el número de subgrupos de 1, 2 o 3 elementos que se pueden establecer con los N elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que los componen o en el orden de dichos elementos; esto es lo que se diferencia de las combinaciones (ejemplo: 1,2 es distinto de 2,1).

Fórmula de Variaciones (Vmn):

Vmn = m! / (m - n)!

Ejemplo: V3,2 = 3! / (3 - 2)! = 3 * 2 * 1 / 1 = 6

Permutaciones

Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo. Por lo tanto, para los elementos 1, 2, 3, las permutaciones serían: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Fórmula de Permutaciones (Pm):

Pm = m!

Ejemplos:
P3 = 3! = 3 * 2 * 1 = 6
P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Combinaciones con repetición

Se utiliza cuando los elementos pueden repetirse en los subgrupos.

Fórmula: C = (m + n - 1)! / [n! * (m - 1)!]

Ejemplo con elementos 2, 3, 4:
Con repetición: (2,3), (2,4), (3,4), (2,2), (3,3), (4,4).
C = (3 + (2 - 1))! / [2! * (3 - 1)!] = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1 * 2 * 1) = 6

Variación con repetición y Permutaciones con repetición

Para elementos que se repiten (K1, K2, K3...), la fórmula de permutaciones se ajusta como:

Pm = m! / (K1! * K2! * K3!...)