Fundamentos de Probabilidad: Valor Esperado, Distribuciones Clave e Intervalos de Confianza

1.
Valor Esperado

• Definición:

  
  Es la media teórica de una variable aleatoria; representa el promedio que se espera al repetir muchas veces un experimento.

• Fórmula (discreta):

  
  

• Varianza:

  
  

• Desviación estándar:

  
  

• Aplicación:

  
  ayuda a tomar decisiones bajo riesgo (ejemplo:
  Ganancias esperadas en un negocio).

2.
Distribución Binomial

• Definición:

  
  Modelo discreto que mide el número de éxitos en nnn ensayos independientes con probabilidad fija ppp.

• Condiciones:

  
  

  1. Ensayos independientes.

  2. Solo dos resultados: éxito/fracaso.

  3. Probabilidad de éxito constante.

• Fórmula:

  
  

• 

• Parámetros:

  
  

• Ejemplos:

  
  defectos en producción, respuestas correctas en un examen.

3.
Distribución de Poisson

• Definición:

  
  Modelo discreto que describe el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio, cuando los eventos son raros pero con tasa constante.

• Fórmula:

  
  

• Parámetros:

  
  

• Ejemplos:

  
  llamadas telefónicas por minuto, llegadas de clientes, accidentes.

4.
Distribución Normal

• Definición:

  
  Modelo continuo, con forma de campana, simétrica alrededor de la media.

• Fórmula de densidad:

  
  

Propiedades:

• Media, mediana y moda coinciden.

• Simétrica respecto a la media.

• Área total bajo la curva = 1.

• Estandarización:

  
  
  

  Permite usar la tabla Z.
  

• Ejemplos:

  
  alturas, calificaciones, tiempos de ensamble.

5.
Intervalos de Confianza

• Definición:

  
  Rango de valores que, con cierto nivel de confianza (90%, 95%, 99%), contiene al parámetro poblacional (media o proporción).

• Tipos:

  
  

  • Estimación puntual: un valor (xˉ\bar xxˉ, p^\hat pp^​).

  • Estimación por intervalo: rango con margen de error.

• Fórmulas:

  
  

  • Para medias con σ conocida (Z):

Para medias con σ desconocida (t):

Para proporciones:

• Interpretación:

  
  Ej. “Con 95% de confianza, la media poblacional está entre 87 y 93”.

• Tamaño de muestra:

  
  

  • Media:

    
  • Proporción:

1) Valor Esperado

Información / Datos

Variable X = # de botellas defectuosas por día
Distribución:

Fórmulas

Procedimiento

2) Distribución Binomial

Información / Datos

Lote de piezas: n=15n=15n=15
Probabilidad de defecto: p=0.20p=0.20p=0.20 (éxito = “defectuosa”), q=0.80q=0.80q=0.80

3) Distribución de Poisson

Información / Datos
Tasa de llegadas: λ=5\lambda=5λ=5 llamadas/minuto

4) Distribución Normal

Información / Datos
Tiempo de ensamble X∼N(μ=50,σ=6)minutos.

5) Intervalos de Confianza — Media (σ conocida)

6) Intervalos de Confianza — Proporción